Forme quadratique

Bonsoir !! Besoin d'aide svp.

On pose $E=CM ( [0,1] ,\R )$ l'espace vectoriel des fonctions continues par morceaux sur $[0,1]$ . On considère la forme bilinéaire définie sur $E\times E$ par $$b(f,g)= \int_{0}^{1} f(t)g(t) dt.
$$ Je veux montrer que la forme quadratique $q(f)=b(f,f)$ est positive mais n'est pas définie positive. J'ai des soucis pour montrer qu'elle n'est pas définie positive, c'est-à-dire que j'ai du mal à trouver une fonction $h$, continue par morceaux sur $[0,1]$ et non nulle telle que $q(h)=0.$
Quelqu'un aurait-il une idée pour ce $h $, svp ?

Réponses

  • La fonction nulle en modifiant un point ?
  • $\int_{0}^{1} f^2 =0 $ on veut $f=0$ si $f$ n’est pas identiquement nulle , il existe un point $ a$ tel que $f^2(a)>0$.
    Utilise la continuité sur un petit intervalle autour de $a $ et obtiens une contradiction.
  • Etanche,

    relis vraiment le premier message (" fonctions continues par morceaux")

    Cordialement.
  • etanche : $f$ n'est pas forcément continue en $a$.

    C'est d'ailleurs comme ça (enfin j'imagine) que Dom a trouvé comment construire un contre-exemple : il faut une fonction continue par morceaux qui soit nulle en tout point de continuité, donc il faut un point où elle est non nulle et qui ne soit pas un point de continuité.
  • Bonjour,

    je suis dans la même logique que Etanche, si b(f,f) n'est pas définie positive cela veut dire que f2(t) n'est pas continue sur [0,1], par exemple si f2 est définie sur [0,1] avec f2(x)=0 pour x $\in$ ]0,1] et f2(0)=1.
  • Heu ... peut-être lire la question, au lieu de l'interpréter.

    Et Dom a donné tout de suite la réponse.
  • Autant pour moi j’avais pas vu continue par morceaux et qu’il fallait voir que $ q $ n’est pas définie positive.
    Ne pas considérer mon post au-dessus.
  • Bonjour,

    J'ai écrit cela car je pense que si une fonction positive est non nulle sur un segment et si elle n'est pas continue sur ce segment, son intégrale peut être nulle.
    Par contre je pense qu' une fonction est positive et continue sur un segment, si son intégrale sur ce segment est nulle alors cette fonction est nulle.

    Pourriez-vous me dire pourquoi je me trompe. Merci par avance.
  • Il n'y a rien de faux dans tes idées, seulement que ce n'est pas la question.
  • Bonjour,

    @gerard0, mon dernier poste était pour vous car je crois comprendre qu'un de vos postes concerne mon intervention.
  • @Dom , ta proposition marche. Merci
    @Etanche ici on a affaire aux fonctions continues par morceaux
  • Bonjour,

    @gerard0, merci pour votre réponse.
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