Une limite

Bonsoir

Soit $(x_n)$ une suite de limite nulle et $s>1$. Si $$\lim_{n\rightarrow +\infty }n^{s}(x_{n}-x_{n+1})=\ell \in [-\infty ,+ \infty ], $$ montrer que $$ \lim_{n\rightarrow +\infty }n^{s-1}x_{n}=\frac{\ell}{s-1}. $$
vous ne comprenez pas les choses, vous vous y habituez.


Réponses

  • Bonjour. Si l est fini (éventuellement nul) on a un équivalent ou un o pour la suite "dérivée" avec le terme général d'une série convergente ( s>1) et de signe constant. Il suffit donc de sommer les équivalents ( ou les o). On est ramené à un reste pour une série de Riemann convergente.
  • J'ai également envie de sommer et de faire une transformation d'Abel.
  • Bonjour
    J'avais passé une heure de réflexion avant de trouver l'idée clé : se ramener à un reste d'une série de Riemann comme l'a signalé michel2. La preuve se fait en deux lignes sans passer par sommer les équivalents ou les petits o.
    vous ne comprenez pas les choses, vous vous y habituez.


  • Bonjour, gebrane,
    il existe des théorèmes de sommation des relations de comparaison ; ici, la suite $(x_n)$ est la suite des restes de la série convergente $\sum(x_{n+1}-x_n)$.
  • john_john
    Je n'ai pas dit le contraire, mais il faut savoir quand utiliser l'information que la suite x_n est de limite nulle. Puis-je savoir ta méthode john? Ma méthode est basique: par définition avec les $\epsilon$
    vous ne comprenez pas les choses, vous vous y habituez.


  • Si tu sommes $x_k-x_{k+1}$ de $n$ à $+\infty$, tu obtiens $x_n$ ; donc $x_n$ est le reste à l'ordre $n$ de la série $\sum(x_k-x_{k+1})$ ; à présent, il y a un théorème tout fait : puisque le terme général de ta série est équivalent à celui de la série positive (convergente) $\sum\ell/n^s$, le reste est équivalent à celui de la série $\ell/n^s$, savoir $\frac{\ell}{s-1}\frac1{n^{s-1}}$ (encadrement par deux intégrales).
  • Bonsoir john
    Ce raisonnement est à rectifier pour l nulle ou infini, mais avec les epsilon on gagne tous les cas
    vous ne comprenez pas les choses, vous vous y habituez.


  • Ah oui, je n'avais pas vu que $\ell$ pouvait être $0$ ou $\infty$ ; dans ce cas, on a aussi des résultats avec des $o(u_n)$ : si $\ell=0$, on dit que le terme général est $o(...)$ et si la limite est $+\infty$, on dit reconventionnellerment que $1=o(...)$.
    Cela dit, manier les $\varepsilon$ à chaque fois est tout aussi formateur !
    Bon dimanche reclus, j__j
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.