Minoration d'une fonction

Bonjour à tous,

Je cherche à démontrer que la fonction à deux variables $F$ définie par : $$
F(x,y) = \ln \Big( \frac{(1+x^{2})(1+y^{2})}{1+(x+y)^{2}} \Big)
$$ est minorée. Avec Python, cela semble vrai, mais je ne parviens pas à
le démontrer.
Quelqu'un aurait-il une piste ?
Merci par avance,
$\alpha$-Nico

Réponses

  • $\dfrac{(1+x^{2})(1+y^{2})}{1+(x+y)^{2}}=1+\dfrac{x^{2}y^{2}}{1+(x+y)^{2}}\geq 1$
  • @raoul.S : tu as mal développé le dénominateur, ce n'est pas $1+ x^2 + y^2$. Par contre on a $$(1+x^2)(1+y^2) = 1 + x^2 + y^2 + x^2y^2 \geq 1 + x^2 + y^2 \geq 1 + \frac{(x+y)^2}{2}$$ d'où $$\frac{(1+x^2)(1+y^2)}{1 + (x+y)^2} \geq \frac{1 + \frac{(x+y)^2}{2}}{1 + (x+y)^2} = \frac{1}{2} \left(1 + \frac{1}{1 + (x+y)^2}\right) \geq \frac{1}{2}.$$
  • indeed (tu)
  • On peut montrer simplement que le minimum de $F(x,y)$ est égal à $\ln(3/4)$ et qu'il est atteint pour $x=y=\pm\dfrac1{\sqrt2}$.
  • Merci à tous !

    Jandri : as-tu un moyen de prouver ton affirmation avec de simples inégalités, c'est-à-dire, sans utiliser de la topologie ni des arguments de points critiques ?
  • Oui, on peut écrire $4(1+x^2)(1+y^2)-3(1+(x+y)^2)$ comme une somme de deux carrés.
  • Jandri : Merci !
  • Le plus facile à voir est $(x-y)^2$.
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