sujet intégrales

bon je te fais le 1

$D_1$ est le disque de centre $(0,1)$ et de rayon $1$. (mise sous forme canonique)
pour calculer l'intégrale, il faut faire un bon paramétrage du domaine
Ici il n'y en a qu'un vraiment cohérent :\par
$\left\lbrace\begin{array}{lcl}
x & = & \rho\cos\theta\\
y & = & 1+\rho\sin\theta
\end{array}
\right.$\par
où $\theta\in\lbrack 0; 2\pi\rbrack$ et $\rho\in \lbrack 0; \rbrack 1$\par
En utilisant la formule de changement de variables (avec le jacobien) on a~:\par
$I = \int_{\rho=0}^{1}\int_{\theta = 0}^{2\pi}(1+\rho\sin\theta)\rho\mathrm{d}\theta\mathrm{d}\rho$
ensuite je pense que ca devrait pas etre genant pour toi
le terme en $\sin\theta$ donne une intégrale nulle et l'autre donne $\pi$

petit pb de latex...

allez le suivant
cette fois c'est la forme de la fonction à intégrer qui suggere les coordonnees polaires ($x^2+y^2$)

si tu fais un dessin (indispensable dans ce genre d'exos) tu vois que $\theta$ va varier entre $0$ et $\frac{\pi}{4}$ et à $\theta$ donné, $\rho$ varie entre $0$ et $\frac{a}{\cos\theta}$.

du coup on a l'intégrale suivante

$J = \int_{\theta = 0}^{\frac{\pi}{4}}\int_{\rho = 0}^{\frac{a}{\cos\theta}} \dfrac{\rho^2\cos\theta\sin\theta}{\rho^2}\rho\mathrm{d}{\rho}
\mathrm{d}\theta$
puis on se ramene à
$J = \frac{a^2}{2}\int_0^{\frac{\pi}{4}}\tan\theta\mathrm{d}\theta$
et ca donne $\frac{a^2}{4}\ln 2$

bon allez je fais le dernier (le 2 est pareil que le 1 pais avec 3 int au lieu de 2 et le 3 est vraiment penible)

tu decoupes ton domaine en deux,
le camembert 0 A B, et le triangle 0 C A (les points O C B sont alignes)
l'aire du camembert vaut $\frac{5\pi}{6}$ (le verifier)
l'aire du triangle vaut $\frac{1*(1+\sqrt{3})}{2}$ (sa hauteur est horizontale)

et t'obtiens le resultat

pour l'erreur à la fin je pense que c'est parce que ton contour est pas de classe $\mathcal{C}^1$

Salut,

En ce qui concerne le dernier problème, $5\pi/6 +(1+\sqrt{3})/2$ est bien sûr la bonne réponse puisqu'elle est logique mais par la méthode des intégrales curvilignes j'ai refais le calcul et je n'ai pas retrouvé ce résultat.
Quelqu'un pourrait m'aider à retrouver le bon résultat par l'intégrale curviligne (comme j'ai essayé dans la photo qui suit)