sujet intégrales
dans Les-mathématiques
Salut
j'ai un sujet (voir piece jointe) qui propose a resoudre 2 integrales doubles et 2 triples , 1 problème d'integrale de surface (flux, formule de Stokes et Ostrogradski) et 1 dernier portant sur l'integrale curviligne.
J'ai essayé de le résoudre mais il reste quelques incertitudes surtout dans les deux derniers problèmes pour lesquels j'aimerais qu'on me donne les solutions et comment y aboutir. Pour les autres (integrales a resoudre)j'ai inscrit les réponses que j'ai trouvé (encerclées dans le fichier .jpg piece jointe) et je voudrais simplement qu'on les verifie, me dire si c juste , et si c pas correct et vous trouvez une autre reponse, svp dites-la moi et comment vs l'avez trouvé.
merci pour votre aide,
mamou
j'ai un sujet (voir piece jointe) qui propose a resoudre 2 integrales doubles et 2 triples , 1 problème d'integrale de surface (flux, formule de Stokes et Ostrogradski) et 1 dernier portant sur l'integrale curviligne.
J'ai essayé de le résoudre mais il reste quelques incertitudes surtout dans les deux derniers problèmes pour lesquels j'aimerais qu'on me donne les solutions et comment y aboutir. Pour les autres (integrales a resoudre)j'ai inscrit les réponses que j'ai trouvé (encerclées dans le fichier .jpg piece jointe) et je voudrais simplement qu'on les verifie, me dire si c juste , et si c pas correct et vous trouvez une autre reponse, svp dites-la moi et comment vs l'avez trouvé.
merci pour votre aide,
mamou
Réponses
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svp si n'importe quel exercice vous inspire veuillez me le dire (peut-etre 1) car c'est un peu urgent pour moi ...
merci d'avance,
mamou -
bon je te fais le 1
$D_1$ est le disque de centre $(0,1)$ et de rayon $1$. (mise sous forme canonique)
pour calculer l'intégrale, il faut faire un bon paramétrage du domaine
Ici il n'y en a qu'un vraiment cohérent :\par
$\left\lbrace\begin{array}{lcl}
x & = & \rho\cos\theta\\
y & = & 1+\rho\sin\theta
\end{array}
\right.$\par
où $\theta\in\lbrack 0; 2\pi\rbrack$ et $\rho\in \lbrack 0; \rbrack 1$\par
En utilisant la formule de changement de variables (avec le jacobien) on a~:\par
$I = \int_{\rho=0}^{1}\int_{\theta = 0}^{2\pi}(1+\rho\sin\theta)\rho\mathrm{d}\theta\mathrm{d}\rho$
ensuite je pense que ca devrait pas etre genant pour toi
le terme en $\sin\theta$ donne une intégrale nulle et l'autre donne $\pi$ -
allez le suivant
cette fois c'est la forme de la fonction à intégrer qui suggere les coordonnees polaires ($x^2+y^2$)
si tu fais un dessin (indispensable dans ce genre d'exos) tu vois que $\theta$ va varier entre $0$ et $\frac{\pi}{4}$ et à $\theta$ donné, $\rho$ varie entre $0$ et $\frac{a}{\cos\theta}$.
du coup on a l'intégrale suivante
$J = \int_{\theta = 0}^{\frac{\pi}{4}}\int_{\rho = 0}^{\frac{a}{\cos\theta}} \dfrac{\rho^2\cos\theta\sin\theta}{\rho^2}\rho\mathrm{d}{\rho}{%
\mathrm{d}\theta$
puis on se ramene à
$J = \frac{a^2}{2}\int_0^{\frac{\pi}{4}}\tan\theta\mathrm{d}\theta$
et ca donne $\frac{a^2}{4}\ln 2$ -
petit pb de latex...
-
allez le suivant
cette fois c'est la forme de la fonction à intégrer qui suggere les coordonnees polaires ($x^2+y^2$)
si tu fais un dessin (indispensable dans ce genre d'exos) tu vois que $\theta$ va varier entre $0$ et $\frac{\pi}{4}$ et à $\theta$ donné, $\rho$ varie entre $0$ et $\frac{a}{\cos\theta}$.
du coup on a l'intégrale suivante
$J = \int_{\theta = 0}^{\frac{\pi}{4}}\int_{\rho = 0}^{\frac{a}{\cos\theta}} \dfrac{\rho^2\cos\theta\sin\theta}{\rho^2}\rho\mathrm{d}{\rho}{%
\mathrm{d}\theta$
puis on se ramene à
$J = \frac{a^2}{2}\int_0^{\frac{\pi}{4}}\tan\theta\mathrm{d}\theta$
et ca donne $\frac{a^2}{4}\ln 2$ -
allez le suivant
cette fois c'est la forme de la fonction à intégrer qui suggere les coordonnees polaires ($x^2+y^2$)
si tu fais un dessin (indispensable dans ce genre d'exos) tu vois que $\theta$ va varier entre $0$ et $\frac{\pi}{4}$ et à $\theta$ donné, $\rho$ varie entre $0$ et $\frac{a}{\cos\theta}$.
du coup on a l'intégrale suivante
$J = \int_{\theta = 0}^{\frac{\pi}{4}}\int_{\rho = 0}^{\frac{a}{\cos\theta}} \dfrac{\rho^2\cos\theta\sin\theta}{\rho^2}\rho\mathrm{d}{\rho}
\mathrm{d}\theta$
puis on se ramene à
$J = \frac{a^2}{2}\int_0^{\frac{\pi}{4}}\tan\theta\mathrm{d}\theta$
et ca donne $\frac{a^2}{4}\ln 2$ -
allez le suivant cette fois c'est la forme de la fonction à intégrer qui suggere les coordonnees polaires ($x^2+y^2$)
si tu fais un dessin (indispensable dans ce genre d'exos) tu vois que $\theta$ va varier entre $0$ et $\frac{\pi}{4}$
et à $\theta$ donné, $\rho$ varie entre $0$ et $\frac{a}{\cos\theta}$.
du coup on a l'intégrale suivante
$$J = \int_{\theta = 0}^{\frac{\pi}{4}}\int_{\rho = 0}^{\frac{a}{\cos\theta}}\frac{\rho^2\cos\theta\sin\theta}{\rho^2}\rho
\mathrm{d}{\rho}\mathrm{d}\theta$$
puis on se ramène à
$$J = \frac{a^2}{2}\int_0^{\frac{\pi}{4}}\tan\theta\mathrm{d}\theta$$ et ca donne $$\frac{a^2}{4}\ln 2$$ -
bon allez je fais le dernier (le 2 est pareil que le 1 pais avec 3 int au lieu de 2 et le 3 est vraiment penible)
tu decoupes ton domaine en deux,
le camembert 0 A B, et le triangle 0 C A (les points O C B sont alignes)
l'aire du camembert vaut $\frac{5\pi}{6}$ (le verifier)
l'aire du triangle vaut $\frac{1*(1+\sqrt{3})}{2}$ (sa hauteur est horizontale)
et t'obtiens le resultat
pour l'erreur à la fin je pense que c'est parce que ton contour est pas de classe $\mathcal{C}^1$ -
salut,
en ce qui concerne le dernier probleme, (5$\pi$/6 )+((1+$\sqrt{3}$)/2) est bien sur la bonne reponse puisqu'elle est logique mais par la méthode des intégrales curvilignes j'ai refais le calcul et je n'ai pas retrouvé ce resultat. quelq'un pourrait m'aider a retrouver le bon resultat par l'integrale curviligne (comme j'ai essayé dans la photo qui suit) -
Salut,
En ce qui concerne le dernier problème, $5\pi/6 +(1+\sqrt{3})/2$ est bien sûr la bonne réponse puisqu'elle est logique mais par la méthode des intégrales curvilignes j'ai refais le calcul et je n'ai pas retrouvé ce résultat.
Quelqu'un pourrait m'aider à retrouver le bon résultat par l'intégrale curviligne (comme j'ai essayé dans la photo qui suit) -
mamou ne confond pas $\partial$ et $\delta$ (dans ta formule de green on dirait que c le cas)
ensuite on fait le calcul (que tu as presque fini)
$\int_D \mathrm{d}x\mathrm{d}y$ représente l'aire de $D$ soit ce qu'on te demande : c'est différent du calcul direct
pourquoi??
parce que la formule de green est fausse
dans le cas considéré. je crois qu'il faut que le contour soit $\mathcal{C}^1$
ce qui n'est pas le cas vu qu'il y a des angles... -
La formule de Green-Riemann est vraie (d'après le cours), la faute n'est pas dans la formule, c'est dans une autre chose que je ne sais pas encore...
-
Je pourrai te répondre ce soir je vois justement cette matière pour le moment ...
ps : Si tu as un site qui explique Green -
Un site qui explique Green : <http://wims.unice.fr/wims/fr_U2~analysis~docfield.fr.html> , puis clique sur Thérorème de Green-Riemann (à la fin)
mamou
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