bête suite

tom2 · August 2005

bonsoir,

je me demande pourquoi le rayon de convergence de la série $\sum _{n=0} ^{\inf} 5^{(-1)^n}z^n$ vaut 1?
A mon avis c'est tout bête mais là j'ai du paté dans le cervau et je ne voit pas du tout.

merci,

Tom

corentin0 · August 2005

C'est majoré par $5\sum |z|^n$.

tom2 · August 2005

je ne voit pas vraiment... pourquoi cette condition suffit-elle?

Richard André-Jeannin1 · August 2005

5^(-1)^n, grosso modo, c'est une constante.

tom2 · August 2005

en fait je ne vois toujours pas...
mais je vais y méditer...
merci

Alain Debreil · August 2005

C'est majoré par $5\sum_n |z|^n$.

jean Lismonde0 · August 2005

bonjour

il faut décomposer la série en deux parties qui sont toutes deux en progression géométrique:

A(z)=5 + 5z² + 5z^4 +........+ 5z^2p +......

+ (1/5)z + (1/5)z^3 + (1/5)z^5 +.........

la première partie converge pour -1 < z < 1 et la seconde partie aussi

donc le rayon de convergence de A(z) est 1

on peut expliciter A(z): on trouve: A(z)=[5 + z/5] / (1-z²)

bonne journée

Alban · August 2005

On oublie souvent la définition première du rayon de convergence via le lemme d'Abel: Si |z|<=1 la suite <IMG WIDTH="61" HEIGHT="32" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2005/08/3/63995/cv/img1.png" ALT="$ (-5)^n z^n$"> est bornée, sinon elle diverge d'où...

oumpapah0 · August 2005

Bonjour

Et je rappelle une fois de plus le principe de comparaison "version séries entières"

soient a(n), b(n) les coeff de deux series entieres de rayons de convergence respectifs A et B
Alors si |a(n)|<=k|b(n)| avec k >0 on a B<=A

ex : si |a(n)| est encadré par k.n^p et k'.n^q alors le rayon est 1..

Oump.

tom2 · August 2005

nikel merci beaucoup!
j'avais vraiment de la choucroute dans l'oeil hier soir... c'est limpide maintenant.
bonne journée,

Tom

riri · August 2005

et puis comme la convergence est absolue dans le disque ouvert de convergence... tu te retrouves tout simplement à regarder $5\sum_{n\leqslant 0}{|z|}^n$ donc la remarque de Corentin te donne même l'équivalence plutôt qu'une minoration.

riri · August 2005

$n\geqsalnt 0$ pardon

riri · August 2005

$n\geqslant 0$...

riri · August 2005

et puis c'est n'importe quoi pardon... je croyais que c'était (-5)^n comme alban l'avait écrit mais en fait c'est $5^((-1)^n)$ donc si qq'un peut effacer ces bêtises !

Toto.le.zero · August 2005

<IMG WIDTH="158" HEIGHT="45" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2005/08/3/64003/cv/img3.png" ALT="$ \limsup \left\vert 5^{(-1)^n}\right\vert^{1/n} =1$"> ce n'est pas plus compliqué que ça.

oumpapah0 · August 2005

Re

Toto..tu vas te faire tirer les oreilles ..laisse dormir Hadamard en paix et revois le principe de comparaison; la logique shadock est rarement la meilleure..

Oump.

Alain Debreil · August 2005

$ 5\sum_{n\geqslant 0}{\vert z\vert}^n$

$ 5^{(-1)^n}$

$\limsup \left|5^{(-1)^n}\right|^{1/n} =1$ c'est pas plus compliqué que ça.

trivecteur1 · August 2005

Je trouve que la réponse d'Alban est quand même la plus simple

3v

Gabi · August 2005

@Oumpapah: Où est le problème avec la formule d'Hadamard? Je trouve que c'est formule utile.

Gabi

Babouin · August 2005

Le problème, c'est que rares sont les personnes qui savent manipuler cette formule correctement, et que deux élèves de spé sur trois à qui on demande de déterminer un rayon de convergence et qui cherchent à utiliser Hadamard se plantent, alors que la plupart réussissent en comparant à quelque chose de connu ou en utilisant un équivalent. Hadamard est une formule théorique, et elle doit être comprise comme telle à mon avis.

tom2 · August 2005

justement... vous sauriez montrer en quoi $\lim \sup |5^{(-1)^n}|^{(1/n)}=1$ ? ce n'est pas très clair pour moi. merci

Babouin · August 2005

5^{1/2n} tend vers 1 quand n tend vers l'infini ...

Tom24 · August 2005

désolé d'insister mais pourquoi sup |5^(-1)^n|^(1/n) vaut 5^(1/2n) ?

corentin0 · August 2005

$5^{1/n$ tend vers 1, $(1/5^{1/n}$ tend vers 1, on va pas épiloguer...
Je comprends pas pourquoi vous dites que pleins de gens utilisent mal la formule de Hadamard, il n'y a pourtant pas de pièges?

Alain Debreil · August 2005

$5^{1/n}$ tend vers 1, $(1/5)^{1/n}$ tend vers 1, on va pas épiloguer...
Je comprends pas pourquoi vous dites que pleins de gens utilisent mal la formule de Hadamard, il n'y a pourtant pas de pièges ?

oumpapah0 · August 2005

Re
Pour Gabi
Le pb , c'est d'abord de bien comprendre le concept de limsup et de savoir l'utiliser à bon escient; comme le signale babouin, l'intérêt de la formule d'Hadamard est purement théorique .. Enfin chacun est libre de faire ce qu'il veut , mais un candidat au capes ou à l'agreg qui l'emploierait dans des situations ou une comparaison élémentaire suffit risque de se voir titiller sur la justification de cette formule .. ou de se voir poser une question du style
" a-t-on une formule comparable avec limsup |u(n+1)/u(n)| "
( ce qui est annoncé dans un ouvrage de Garnir, contenant plein de choses intéressantes par ailleurs.. Il a dû laisser rédiger cette partie par un étudiant pas très affûté sur la question !)

Oump.

borde · August 2005

Je crois que l'on devrait noter sur ses tablettes la principe de comparaison donné ci-dessus par Oumpapah (principe que l'on retrouve d'ailleurs sous d'autres formes dans d'autres parties de l'analyse), et chanter tous en choeur le refrain suivant, dû à J. Dieudonné : Faire de l'analyse, c'est minorer, majorer, approcher...
 
 Borde.

Menagex · August 2005

Dans le même genre , Borde,

J'ai un ami qui donnait les définitions de l'algèbre et l'analyse :

"en algèbre, on travaille sur des égalités et en analyse sur des inégalités !"

borde · August 2005

Oui, c'est également une bonne formule.

Borde.

le poulpe0 · August 2005

N'empêche que l'argument d'Alban est le plus simple.

bête suite

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