éq.diff f'(x)=f(x+b) ?

Zaim KHELIFI · August 2005

Hi,
J’ai cette équation différentiel f ’(x) = f (x+b), mais je ne sais pas dans quelle catégorie la classer et s’il y a une méthode générale pour la résoudre. Bien sur, x et b peuvent être réels ou complexes.

Zaim KHELIFI · August 2005

j'ai oublié de préciser que j'ai trouvé une solution du type f(x)=A*exp(a*x+ln(a)) tel que A cte d'integration et ln(a)/a=b.

Richard André-Jeannin1 · August 2005

Je crois que cela s'appelle une équation différentielle avec retard.

le poulpe0 · August 2005

si ta solution s'ecrit
$Ae^{ax+\ln a}$ à quoi sert le $\ln a$?
en le sortant ça fait $Be^{ax}$ qui est solution dans le cas dont tu parles

Ensuite puisque t'en as trouve une et que $0$ l'est aussi tu les as toutes
si tu montres que l'espace des solutions est de dimension 1

le poulpe0 · August 2005

si ta solution s'ecrit
$Ae^{ax+\ln a}$ à quoi sert le $\ln a$?
en le sortant ça fait $Be^{ax}$ qui est solution dans le cas dont tu parles

Ensuite puisque t'en as trouve une et que $0$ l'est aussi tu les as toutes
si tu montres que l'espace des solutions est de dimension 1

Zaim KHELIFI · August 2005

Merci à tous pour les réponses, le "a" est donné par b par l'équation b=ln(a)/a ie a est solution de cette équation et b est une donnée.

raissouni anass0 · August 2005

Salut
Cela nécessite que b soit compris entre -infini et exp(1) pour que l'équation b=ln(a)/a a une solution, sinon je vais penser à une forme générale des solutions de l'équation.
a+

raissouni anass0 · August 2005

Une remarque : dans le cas où b est compris entre 0 et exp(1) l'équation admet deux solutions non liées puisque dans ce cas ln(a)/a=b a deux solutions différentes, donc l'espace des solutions de l'équations ne va pas être (au moins de) dimension 1 dans le cas général.
Une autre remarque : si f est solution alors toutes les dérivées successives de f appartiennent à l'espace des solutions.
Une dernière remarque : il me parait que c'est difficile de trouver une forme générale de solution puisque dans par exemple la cas b=pi/2, x

> sin(x) et cos(x) sont solution de l'équation et je vous laisse imaginer !

Zaim KHELIFI · August 2005

Merci Raissouni Anass, on peut meme prendre le "a" comme complexe.

éq.diff f'(x)=f(x+b) ?

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