Équation différentielle

Bonjour,

Idée :

$y^3+(x y’)^3-3y(x y’)=0$

Si $y\neq 0$, on pose $z=x y’/y$. On reporte. On exprime $z$ selon $y$. Puis on replace $z$ selon sa définition pour trouver une équation différentielle d’ordre $1$ à variables séparables. On intègre.

La résolution en $z$ mène à des calculs faisables mais ridicules : donc ça ne marche pas en pratique.

Autre idée :
On pose $x=e^t$ pour $x>0$ et donc on doit résoudre $z^3+z’^3-3 z z’=0$. C’est un polynôme de degré $3$ en $z’$ que l’on sait résoudre (même si on n’a pas envie). Puis variables séparables.

On obtient une quadrature (solution sous forme intégrale).