Problème de surface minimale

Bonjour
Je cherche la solution à ce problème.

"Dans le jardin, de forme rectangulaire, de Marcel, sont plantés 2020 pommiers, situés aux sommets d'un réseau régulier dont les mailles sont des triangles équilatéraux de coté égal à 5 mètres.
Pour des raisons de bon voisinage, aucun arbre ne doit être à moins de 10 mètres du bord du verger.
Quelle est la surface minimale du terrain ?"

Voici ma solution, mais je ne suis pas sûr de la réponse.
Pouvez-vous me la confirmer ?
Remarquons qu'il y a 2018 triangles.
Les trois premiers en forment un, puis dès que l'on en rajoute un dans la maille, il s'en forme un autre, collé au(x) précédent(s), de sorte à bien former une maille.
L'ensemble des triangles collés les uns aux autres forment un rectangle "prolongé", dans le sens où il manque en effet des aires pour compléter le rectangle.
Ainsi il faut minimiser cette aire manquante.
L'aire manquante minimale correspond à un empilement, disons, de gauche à droite des triangles.
Ainsi, une fois formé le premier triangle, le quatrième arbre sera positionné "en haut à droite" de sorte à ce que les deux triangles aient leurs arêtes collées, et que les bases des deux triangles soient parallèles.
Et on continue ainsi de suite ...
L'aire manquante pour compléter la maille ainsi construite en rectangle est celle d'un tel triangle équilatéral, i.e. rac(3)/4 * 25 m2.
Il semble bien que cette aire est l'aire minimale manquante, intuitivement.
Car la création d'un autre étage impliquera l'ajout d'une aire manquante, égale à la précédente, on double l'aire manquante pour former un rectangle.
On pourrait retourner les triangles dans un autre sens, mais on ajouterait davantage d'aire manquante, et la stratégie serait mauvaise.
On calcule l'aire du rectangle ainsi formé.
La largeur est celle d'un triangle équilatéral, i.e. rac(3)/2 * 5 m.
La largeur vaut le nombre de triangles, fois la longueur de l'arête sur deux, et auquel on doit ajouter la longueur d'une arête sur deux, i.e. 2019/2 * 5 m.
On retrouve bien que l'aire d'un tel triangle est celle de 2019 triangles équilatéraux, i.e. 2019 * rac(3)/4 * 25 m2.
Mais il faut un terrain rectangulaire, dont les côtés sont distancés de 10 m de ceux du rectangle défini ci-dessus.
Finalement, la surface minimale du terrain est donnée par:
A = (rac(3)/2 * 5 + 20)(2019 / 2 × 5 + 20) m2 = 123 293 m2.

Merci
Cordialement, JeremyJeff

Réponses

  • Bonjour,

    Lorsque tu trouves une surface minimale de $123\,292,9(1)\,m^2$ tu dois écrire que tu arrondis au mètre carré, sinon le nombre écrit est plus petit que ta réponse.

    Bon, sur l'exercice, ta réponse est une réponse. Mais tu ne démontres pas que c'est la plus petite surface.

    Tu supposes que les triangles sont en ligne, mais ne peut-on pas avoir comme surface minimale un carré ?

    Je te suggère de mettre 12 triangles en "carré" (trois lignes de quatre triangles) et de compter le nombre d'arbres : 12. Puis de généraliser. Je trouve une surface plus petite que la moitié de ton résultat.
  • Bonsoir,

    Merci Yves pour l'indication.

    Mettre 12 triangles en carré, comment cela ?
    Je n'arrive pas à faire un carré avec trois lignes de quatre triangles


    Cordialement, Jeremyjeff
  • Bonjour,

    Rectangle si tu préfères... l’idée est d’essayer de rester au plus prés d’un carré.
  • Bonjour,

    Pour 12 triangles j'ai trouvé un rectangle, proche d'un carré de dimension:
    - 2,5 longueurs de triangle équilatéral
    - 3 hauteurs de triangle équilatéral

    en partant de 12 = 3 * 4 (3 lignes de 4 triangles) et 12 sommets , donc 12 arbres.

    Pour la généralisation à 2020 triangles, j'ai un peu plus de mal, déjà pour la décomposition en rectangle presque carré:
    2020 = 101 x 5 x 4
    Les carrés proches sont : 44² = 1936 et 45² = 2025 qui dépasse 2020
    Donc si j'essaie : 44 x 45 = 1980. Il manque 40 sommets.

    Si je pars de 45 x 45, j'arrive à une surface toujours grande par rapport à celle que j'avais trouvée :
    (Je rajoute des rectangle de largeur 10 sur chaque côté pour être conforme aux conditions de l'énoncé)

    A = (rac(3)/2 * 5*45 + 20)(45 × 5 + 20) m2 = 100 379 m² qui n'est pas plus petite que la moitié de 123 293 m2

    Merci

    Cordialement, JeremyJeff
  • Bonjour,

    C'est déjà plus petit. De rien.

    De plus, ton rectangle est 214,(8) mètres par 245 mètres : ne peux-tu pas t'approcher d'un carré encore un peu plus ?

    Ne peux-tu pas calculer la longueur et la largeur exactes du rectangle qui contient 2020 arbres ?

    Voici, à vérifier :

    Je commence par deux lignes ($n=2$) de quatre triangles : neufs arbres ($N_2=9$). C'est un rectangle de côtés $A_2=2a+a/2$ et $B_2=2 {\sqrt{3} \over 2} a$ avec $a=5$ le côté du triangle équilatéral.

    On ajoute une ligne de triangles en haut et à droite ($n=3$). On a $N_3=14$ arbres avec $A_3=3a$ et $B_3=3 {\sqrt{3} \over 2} a.$

    On ajoute une ligne de triangles en haut et à droite ($n=4$). On a $N_4=20$ arbres avec $A_4=3a+a/2$ et $B_4=4 {\sqrt{3} \over 2} a.$

    On ajoute une ligne de triangles en haut et à droite ($n=5$). On a $N_4=27$ arbres avec $A_5=4a$ et $B_5=5 {\sqrt{3} \over 2} a.$

    Une petite récurrence donne, pour $n \geq 2$ lignes :
    $N_{n+1} = N_n+n+3, N_2=9$ et donc $N_n = {(n+1)(n+4)\over 2}, n \geq 2.$
    $A_n = {n+3 \over 2}a.$
    $B_n=n {\sqrt{3} \over 2} a.$

    La surface minimale contient $N=2020$ arbres et donc $N_n \geq 2020 \implies n \geq 61,0(7)$ : on retient $n=62.$

    La surface minimale vaut $(A_{62}+20)(B_{62}+20) =$ 52 645,(8) mètres carrés.

    Les longueurs vallent $288,(4)$ et $182,5$ mètres. Ce n'est pas très proche d'un carré.

    On doit pouvoir mieux faire. Je te laisse chercher.

    PS: Le triangle équilatéral à une hauteur relative à sa largeur de ${\sqrt{3} \over 2} = 0.86(6)$ : il est possible que la surface minimale ne soit pas un carré, mais un rectangle de même rapport. Il faudrait donc constituer un rectangle initial de rapport au plus proche de $0.86(6)$ et de rajouter une ligne à chaque étape comme précédemment... à essayer.
  • Bonsoir,

    Effectivement, il y a plus petit :

    En remarquant que: 2020 = 43 * 47 - 1, il faudrait aligner 43 rangées de 47 pommiers, la dernière rangée n'ayant que 46 pommiers.

    On aurait alors: L = [(43 - 1) * 5 + 5 / 2 + 20] = 232,5 m et l = [(5 * rac(3) /2 ) × (47 - 1) + 20] = 219,18 m .

    On a un rapport de 0,942.

    On trouve alors une surface de 5 0970,99 m2.

    Comment prouver qu'il n'y a pas mieux ?

    Cordialement, JeremyJeff
  • Bonjour,

    Peux-tu trouver la relation entre le nombre d’arbres $N$ et le nombre de lignes $n$ et de rangées $m$ si on dispose les triangles comme on l’a fait jusqu'à présent ?

    On doit pouvoir démontrer le minimum dans ce cas.

    Dans le cas général, ce n’est pas si évident à démontrer... il faut traiter le cas où l’angle du rectangle intérieur est positionné de façon quelconque par rapport à un arbre (et non pas confondu avec un arbre).
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