Équation avec une différentielle
Réponses
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Bonjour,
Connais-tu une fonction \(f\) telle que : \(\dfrac{\partial f}{\partial x} = \arctan \dfrac yx\) ? -
Localement, j'en connais une ; globalement c'est une autre paire de manches !
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réponse à gb: Merci de la rapidité de votre réponse!
On peut répondre f=x*arctan((a/x) + (a/2)*log(x^2+a^2)
mais cela ne m'avance pas.... -
C'est bizarre, ce \(a\) dans \(f\)…,
L'expression de \(\dfrac{\partial f}{\partial y}\) est-elle sympathique ? -
j'ai noté a en place de y..
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Un fort indice.
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Bonjour,
si on passe en coordonnées polaires $x=r\cos\theta ,\ y =\sin\theta\ $ et $\ r^2=x^2+y^2$ c'est plus facile. -
Merci.., mais je ne parviens pas à séparer les variables pour intégrer..
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Que devient l'équation ?
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dx=-r*log(r)*cos(t)*d(t)/t
(t au lieu de têta que je ne peux pas imprimer) -
$dx=-r \log r (\cos \theta) d \theta/ \theta$
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Après « passage en polaires », il ne devrait pas rester de $x$ ni de $y$, n'est-ce pas ?
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oui, effectivement, je ne suis pas allé jusqu'au bout. Alors j'obtiens
r=exp(t/tan(t)) t à la place de têta
est-ce là le résultat final attendu? -
bd2017 écrivait:
C'est à dire qu'il résoudre $\partial f / \partial x =arctg(y/x)$
Une solution a été donnée(f(x,y) =x\arctan\dfrac yx + \dfrac y2\ln(x^2+y^2)\).
J'attends toujours que cadiou donne une expression de \(\dfrac{\partial f}{\partial y}\) pour terminer de résoudre l'exercice.
Peut-être l'a résolu par ailleurs… -
merci gb, j'ai bien initialement trouvé cette primitive, mais je ne comprends pas comment aller plus loin, avec df/dy:
df/dy=1+1/2 * log(x^2 + y^2) -
Il suffit de modifier légèrement \(f\) en s'arrangeant pour :
— conserver la dérivée partielle en \(x\) ;
— supprimer le terme parasite dans la dérivée partielle en \(y\).
On obtiendra ainsi une solution de l'équation différentielle ; les autres s'en déduiront aisément.
Reste le problème de savoir sur quel sous-ensemble de \(\R^2\) sont définies ces solutions parce que, jusqu'à présent, on s'est contenté de calcul formel sur les dérivées partielles. -
rectification: je trouve r=Cste * exp((teta)*tan(teta))
Considère-t-on cela comme réponse définitive?
cordialement -
Bonsoir gb,
df/dy = 1 + 1/2 * log(x^2+y^2)
Mais je demeure bloqué, je ne parviens pas à saisir la logique pour la suite.... -
Il faut modifier \(f\) sous la forme :
\[f(x,y) = x\arctan\dfrac yx + \dfrac y2\ln(x^2+y^2) + \phi(y)\]
Le terme correctif \(\phi(y)\) ne modifie pas la dérivée partielle en \(x\), mais permet, par un choix convenable de \(\phi\), de récupérer la bonne drivée partielle en \(y\). -
Bonjour,
je trouve la modification = "-y", mais cela ne me donne pas de solution soit paramétrique en x et y, soit directement cartésienne y = f(x), mais la relation suivante:
arctg(y/x) + y/2*log(x^2+y^2) -y = Constante... -
(re)bonjour
En définitive, voilà ce que je trouve:
2*x*arctg(y/x) +y*log(x^2+y^2)-y =Constante
ce qui en coordonnées polaires donne:
2*r*@*cos@ + 2*r*sin@*ln(r)-r*sin@ = Cste
Ce n'est pas pleinement satisfaisant.
Donc, soit je me suis trompé quelque part, soit il est possible d'aller plus loin??
cordialement
Cadiou -
Bonjour,
$\arctan\dfrac yx dx + \dfrac12 \ln(x^2+y^2)dy=0.\qquad (1)$
Je vous fait part de mes calculs (j'espère qu'ils sont corrects).
Pour $\arctan\dfrac yx dx$ :
$\arctan\dfrac yx= \dfrac\pi2 signe(\dfrac yx) - \arctan(x/y)$
la primitive de $\arctan(x/y)$ par rapport à $x$ est $x \arctan\dfrac xy-\dfrac{y^2}{2} \ln(x^2+y^2) +K.$
Pour $\dfrac12 \ln(x^2+y^2)$ :
la primitive par rapport à $y$ est : $\dfrac y2\ln(x^2+y^2)+ x\arctan\dfrac yx -y +K.$
Au final je trouve pour primitive de (1) :
$x\dfrac\pi2 signe(\dfrac yx) -[x \arctan\dfrac xy-\dfrac{y^2}{2} \ln(x^2+y^2) ] +\dfrac y2\ln(x^2+y^2)+ x\arctan\dfrac yx -y +K$
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