Le corps $Frac(\Z_p[[x]])$

reuns · January 2020

Bonjour, $\Z_p$ sont les entiers $p$-adiques, est-ce que vous avez déjà vu le problème avec $F=Frac(\Z_px)$, la difficulté de décrire quels éléments de $\Q_p((x))$ y sont.

Si $f\in \Z_px$ est non-nulle alors pour $m$ assez grand $g(x)=a^{-1} x^k f(p^m x) \in 1+x\Z_px\subset \Z_px^\times$ donc $F$ est un sous-corps de $$ K=Frac\Big(\bigcup_m \Z_pp^{-m} x\Big) =\bigcup_m p^{-m} \Z_p((p^{-m} x))
$$ (par exemple $K$ ne contient pas $\sum p^{-n!} x^n$).

Est-ce que $K$ contient de nouveaux éléments algébriques sur $F$ ? Quel serait une partie génératrice de $K/F$ ?

Y a-t-il une chance de trouver une topologie pour laquelle $F$ ou $K$ est complet ? Ou une topologie pour laquelle la complétion est un corps facile à décrire et qui reste beaucoup plus petit que $\Q_p((x))$ ? Y a-t-il d'autres corps de ce type entre $\Q_p((x))$ et $F$ ?

Sinon quel autre moyen il y a-t-il de "voir" l'inclusion $F\subset K\subset \Q_p((x))$, par exemple il y a-t-il des méthodes plus analytiques (en terme de zéros/pôles/exponentielles...) ?

aurelpage · January 2020

Salur reuns,

Je ne suis pas spécialiste d'analyse $p$-adique, mais voici un début.

Je crois que la manière usuelle de visualiser ce type de problème est de regarder les racines dans $\C_p$ (dans le domaine de convergence), en faisant attention aux problèmes habituels dûs à la totale discontinuité.

Par exemple $\Z_px$ est le sous-anneau de $\Q_px$ des séries qui convergent sur le disque unité ouvert $U$ de $\C_p$. Par le théorème de préparation de Weierstrass, une telle série n'a qu'un nombre fini de zéros dans $U$, et $F$ s'obtient en inversant $p$ et tous les polynômes distingués, c'est-à-dire unitaires à coefficients non-dominants divisibles par $p$. Donc $F$ se visualise comme les fonctions "méromorphes" sur $U$ avec un nombre fini de pôles.

Je pense que ton $K$ est le sous-anneau de $\Q_p((x))$ des séries qui convergent sur un disque ouvert épointé autour de $0$ (de rayon aussi petit qu'on veut). Donc il y a probablement beaucoup de place entre $F$ et $K$ pour fabriquer des fonctions avec une infinité de pôles, avec des trucs du style $\prod_{n\ge 1}(1-\frac{x^n}{p})^{-1}$ (peut-être qu'il faut ajuster).

Amicalement,
Aurel

reuns · January 2020

C'est plus facile de décrire $Frac(R)$ où $R$ est le sous-anneau de $\Z_px$ des fonctions qui convergent en $x=1$.

Les coefficients de ces fonctions $\to 0$ donc elles ont un nombre fini de zéros sur $O_{\C_p}$, zéros où elles sont analytiques, leurs inverses si on soustrait leurs pôles sur $O_{\C_p}$ (qui est ouvert !!!) ont un prolongement méromorphe à $O_{\C_p}$.

Et donc l'anneau de ce type qui contient $\Z_px$ c'est celui des fonctions $\subset \Q_px$ qui convergent en $x=p^{-\epsilon}$ pour un $\epsilon > 0$.

D'autre part les pôles les plus proches de $0$ se trouvent à partir du comportement asymptotique des coefficients.

reuns · January 2020

Oui ok je crois que je suis convaincu maintenant, soit $f(x)=\sum_n a_n x^n\in \Q_p((x))$ qui est analytique sur $|x|<1$ donc telle que $\forall r>0, a_n p^{r n}\to 0$,

alors $f$ a un zéro de valuation $r$ ssi $\inf v(a_n p^{rn})$ est atteint plus d'une fois, si $f\in \Z_px$ alors le nombre de tels $r$ est fini, et le nombre de zéros sur $|x|\le p^r$ est donné par le degré de la réduction $\bmod (p^m,x^l)$..

Si $f\not\in \Z_px$ alors le nombre de tels $r$ est infini.

Donc $f$ a un nombre fini de zéros sur $O_{\C_p}$ ssi $f\in p^{-k} \Z_px$.

Ensuite si $g$ est méromorphe sur $|x|< 1$ et a un nombre fini de pôles alors il existe un polynôme $h$ tel que $g(x)h(x)$ est analytique sur $|x|<1$ et il suffit de tester si elle a un nombre fini de zéros pour savoir si $g(x)h(x)\in p^{-m}\Z_p((x))$ donc si $g\in Frac(\Z_px)$

Le corps $Frac(\Z_p[[x]])$

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