équa diff

analyx · July 2005

Bonjour,
 Je dois résoudre l'équa diff <IMG WIDTH="117" HEIGHT="32" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2005/07/17/63372/cv/img1.png" ALT="$ x''+ tx' + x = 0$">
 
 J'ai essayé de trouver une solution dse car je n'en vois pas d'évidente.
 
 Après de fastidieux calculs, en posant <IMG WIDTH="110" HEIGHT="51" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2005/07/17/63372/cv/img2.png" ALT="$ f(t)=\sum\limits_{n=0}^\infty a_nt^n$"> j'arrive à la relation suivante :
 
 <IMG WIDTH="54" HEIGHT="29" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2005/07/17/63372/cv/img3.png" ALT="$ a_{2p}=0$"> et <IMG WIDTH="150" HEIGHT="54" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2005/07/17/63372/cv/img4.png" ALT="$ a_{2p+1}= a_0 \dfrac{(-1)^p 2^p p!}{( 2p+1)!}$">
 
 et <IMG WIDTH="208" HEIGHT="52" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2005/07/17/63372/cv/img5.png" ALT="$ f(t)= \sum (-1)^p \dfrac{2^p p! }{(2p+1)!}t^{2p+1}$"> et là je suis incapable de reconnaitre si cette derniere expression peut s'exprimer simplement avec des fonctions usuelles.
 
 Pourriez-vous m'aider ?
 Merci.

Thibaut6 · July 2005

Je pense qu'il y a une erreur dans ton calcul. Je trouve :

$\forall n \geq 0~ (n+2)a_{n+2} + a_n =0$

ce qui ne donne pas tout à fait la même chose.

analyx · July 2005

ok, mais comment conclure?
merci

Alain Debreil · July 2005

Bonjour,
Je dois résoudre l'équa diff $x"+ tx' + x = 0$

J'ai essayé de trouver une solution dse car je n'en vois pas d'évidente.

Après de fastidieux calculs, en posant $f(t)=\sum\limits_{n=0}^\infty a_nt^n$ j'arrive à la relation suivante :

$a_{2p}=0$ et $a_{2p+1}= a_0 \dfrac{(-1)^p 2^p p!}{( 2p+1)!}$

et $f(t)= \sum (-1)^p \dfrac{2^p p! }{(2p+1)!}t^{2p+1}$ et là je suis incapable de reconnaitre si cette derniere expression peut s'exprimer simplement avec des fonctions usuelles.

Pourriez-vous m'aider ?
Merci.

ouin · July 2005

$x_0=exp(-1/2*t^2)$ semble etre solution. Ca devrait être elle la solution DSE. Pour trouver les autres, peut etre poser $x=x_0y$

JJ0 · July 2005

Bonsoir,

Cette équation se ramène à l'équation de Weber en posant
x(t) = exp(-t²/4) f(t)
Les solutions f(t) sont des fonctions du cylindre parabolique, voir :
<http://mathworld.wolfram.com/ParabolicCylinderFunction.html>
Mais l'ordre que l'on obtient est entier, ce qui ramène aux polynômes d'Hermite.
On peut d'ailleurs tomber directement sur l'équation conduisant aux polynômes d'Hermite en faisant le changement de variable T=t/racine(2)
après le changement de fonction indiqué au début.

équa diff

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