convergence dominée dans Lp

e=mc31 · July 2005

Comme chacun le sait la convergence dominée de Lebesgue donne un résultat de convergence dans L1.

Existe-t-il un résultat de convergence dominée dans Lp ?

corentin0 · July 2005

Bon il est tard, je crois que tu auras très honte demain.
Si $|f_n|^p \leq g^p$ avec g intégrable...

e=mc31 · July 2005

Mon PC rame et tu m'as devancé.
En zéro on est d'accord, mais que se passe -t-il si l'on ne converge pas vers 0?

corentin0 · July 2005

Si $f_n \rightarrow f$ pp, $f_n ^p \rightarrow f^p$ pp, et la domination $L^1$ s'applique.

Totole.zero · July 2005

??? Je ne suis pas sûr d'avoir compris la dernière question...

e=mc31 · July 2005

J'espère que tu lis ce message comme cela c'est toi qui va avoir honte et être frappé d'insomnie:

$\vert f_n\vert^p->\vert f\vert ^p$

nous donne par convergence dominée

$\int \vert\vert f_n\vert ^p-\vert f\vert ^p\vert ->0$

ce qui n'a rien à voir avec

$\int \vert f_n-f\vert ^p->0$

corentin0 · July 2005

Enfin... je n'ai pas l'impression de dire n'importe quoi. La convergence L^p, c'est $f_n$ tend vers f lorsque l'intégrale etc.
Il est certes tard, mais il me semble que si l'on a $f^p$ dominé par une fonction intégrable le tcd marche.

Fubini · July 2005

Bonjour
 
 la reponse est donnée dans le lien suivant
 
 <a href=" http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?f=2&i=167583&t=167435#reply_167583"> http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?f=2&i=167583&t=167435#reply_167583</a>

e=mc31 · July 2005

Je réécris donc en précisant les espaces:

$\vert f_n\vert^p->\vert f\vert ^p$

nous donne par convergence dominée

$\int \vert\vert f_n\vert ^p-\vert f\vert ^p\vert ->0$ $(L1)$

ce qui n'a rien à voir avec

$\int \vert f_n-f\vert ^p->0$ $(Lp)$

e=mc31 · July 2005

Je pense que je me suis mal exprimé au départ. Bien sûr que l'on peut appliquer le th de la conv dominée, mais le résultat qu'on obtient est une convergence dans L1 et non dans Lp

Je réécris donc en précisant les espaces:

$\vert f_n\vert^p->\vert f\vert ^p$

nous donne par convergence dominée

$\int \vert\vert f_n\vert ^p-\vert f\vert ^p\vert ->0$ $(L1)$

ce qui n'a rien à voir avec

$\int \vert f_n-f\vert ^p->0$ $(Lp)$

corentin0 · July 2005

$(a+b)^p \leq 2^{p-1} (a^p+b^p)$. Le tcd s'applique donc quand même.

Fubini · July 2005

Rebonjour

j'ai fait Crtl C Crtl V du post cité dessus,

\\
Si $(f_n)_n$ une suite de fonctions$ \mu $-mesurables telle que \\
\\
$f_n(x) $ converge vers $f(x)$ $ \mu $presque pour tout $x$ et \\
\\
$\exists g\in L^p(X,\mu)$ :$ \forall n $: $\vert f_n(x) \vert \leq g(x)$ $ \mu $presque$_n$ pour tout $x$ . \\
\\
Alors$f, fn\in L^p(X,\mu)$ et$( f_n)_n$ converge vers$f$ pour la norme $p$ième cad$ lim_{n>\infty}\vert \vert f_n-f \vert \vert _p=0$\\
\\

\\
Pour la demonstration/\\
$ f,fn\in L^p(X,\mu)$ facile a voir\\
En appliquant la convexde la fonction $t\longrightarrow t^p$ on a \\
$\vert f_n(x)-f(x) \vert ^p \leq C_p \vert f(x) \vert ^p $pour $\mu$ tout $x$\\
et on applique le theoreme de convergence dominée classique a la suite \\
\\
$((\vert f_n-f\vert )^p)_n$\\
\\

e=mc31 · July 2005

Je viens d'avoir un méga plantage d'ordi du coup vous m'avez pris de vitesse. Je rédige donc proprement à ma manière

hypothèses:
$f_n\leq g$ avec $g\in Lp$
$f_n->f$ pour presque tout x
conclusion: $f_n$ converge vers $f$ dans $Lp$

on a, presque partout:

par convexité
$\vert f_n-f \vert ^p \leq 2^{p-1}(\vert f_n\vert ^p+\vert f\vert ^p)$

$\leq 2^p \vert g \vert ^p$

en posant $h=2^p \vert g \vert ^p$ on a $h\in L1$ et on applique la conv dominée classique à $\psi_n=\vert f_n-f \vert ^p$ qui converge ponctuellement vers 0 donc dans $L1. On a alors

$\int \vert \psi_n-0->0$ ce qui n'est autre que
$\int \vert f_n-f \vert ^p \->0$

Objectivement Corentin le coup la convexité t'y avais pensé dès le départ?

PS:
l'aperçu Latex veut plus marcher alors après une dizaine de tentatives je poste.

e=mc31 · July 2005

Je viens d'avoir un méga plantage d'ordi du coup vous m'avez pris de vitesse. Je rédige donc proprement à ma manière

hypothèses:
$f_n\leq g$ avec $g\in Lp$
$f_n->f$ pour presque tout x
conclusion: $f_n$ converge vers $f$ dans $Lp$

on a, presque partout:

par convexité
$\vert f_n-f \vert ^p \leq 2^{p-1}(\vert f_n\vert ^p+\vert f\vert ^p)$

$\leq 2^p \vert g \vert ^p$

en posant $h=2^p \vert g \vert ^p$ on a $h\in L1$ et on applique la conv dominée classique à $\psi_n=\vert f_n-f \vert ^p$ qui converge ponctuellement vers 0 donc dans $L1. On a alors

$\int \vert \psi_n-0->0$ ce qui n'est autre que
$\int \vert f_n-f \vert ^p \->0$

Objectivement Corentin le coup la convexité t'y avais pensé dès le départ?

PS:
l'aperçu Latex veut plus marcher alors après une dizaine de tentavies je poste.

PS2

j'ai posté et voilà le résultat: un message vide. Comprends rien à ces machines têtues.

e=mc31 · July 2005

message d'essai

e=mc31 · July 2005

Je viens d'avoir un méga plantage d'ordi du coup vous m'avez pris de vitesse. Je rédige donc proprement à ma manière

hypothèses:
$f_n\leq g$ avec $g\in Lp$
$f_n->f$ pour presque tout x
conclusion: $f_n$ converge vers $f$ dans $Lp$

on a, presque partout:

par convexité
$\vert f_n-f \vert ^p \leq 2^{p-1}(\vert f_n\vert ^p+\vert f\vert ^p)$

$\leq 2^p \vert g \vert ^p$

en posant $h=2^p \vert g \vert ^p$ on a $h\in L1$ et on applique la conv dominée classique à $\psi_n=\vert f_n-f \vert ^p$ qui converge ponctuellement vers 0 donc dans $L1$. On a alors

$\int \vert \psi_n-0\vert->0$ ce qui n'est autre que
$\int \vert f_n-f \vert ^p ->0$

Objectivement Corentin le coup la convexité t'y avais pensé dès le départ?

PS:
l'aperçu Latex veut plus marcher alors après une dizaine de tentavies je poste.

PS2

j'ai posté x fois et voilà le résultat: un message vide. Comprends rien à ces machines têtues.

e=mc31 · July 2005

Ca remarche!Cette saleté de machine a fini de me bouder. Merci aux modérateurs d'effacter toute cette pollution parasite.

Fubini · July 2005

bonjour

pour chipoter un petit peu :

hypothèse a corriger
$\vert f_n\vert \leq g$ avec $g\in Lp$\\

et du coup on a $\vert g \vert =g$

oubli dans la demonstration

$\vert f\vert \leq g$

Amicalement

e=mc31 · July 2005

oeuf corse Fubini

merci

Fubini · July 2005

rebonjour

pour corsé un petit peu , on peut montrer grace au theoreme d'Egoroff que
les conditions suivantes

1) $f_n , f \in L^p$

2)$f_n->f$ pour presque tout x(ou la convergence en mesure)

3) $\vert \vert f_n\vert \vert _p->\vert \vert f\vert \vert _p$

impliquent que $\vert \vert f_n-f\vert \vert _p->0$

si tu veux je peux detailler plus , fais moi signe et surtout avant les cata..resultats du lundi

e=mc31 · July 2005

1°)Est ce que la convergence dominée dans Lp telle que nous l'avons énoncée est traitée dans les ouvrages classiques genre Rudin, Brezis, Queffelec...Personnellement je cherche une référence, ça me permet de consolider mes connaissances. Ce n'est pas que la démo donnée ne me satisfasse pas, mais je trouve personnellement ce résultat assez important et donc il est assez curieux de ne pas arriver à mettre la main dessus dans les livres, à moins de ne pas avoir les bons (et il est vrai que je n'ai pas d'ouvrage spécifiquement théorie de la mesure)

2°)Fubini,même chose pour la propriété que tu viens d'énoncer. Une bonne référence t'éviterait en plus de latexer à tout va. Mais maintenant je ne voudrais pas te priver de ce plaisir...

e=mc31 · July 2005

Pour ton résultat Fubini est ce qu'il n'y aurait pas un rapport avec la théorie de la dualité?

Fubini · July 2005

Voila pour ma référence
exercice 114
<http://www.gabay.com/sources/Liste_Fiche.asp?CV=81>
sinon pour son cours, j'ai seulement son polycopié (1979 ) qui n'est jamais édité.

corentin0 · July 2005

Très objectivement j'avais pas pensé tout de suite à la convexité mais j'étais absolument sur que le th de convergence dominée L^p existait.

e=mc31 · July 2005

Fubini

ton lien semble ne pas marcher.

Sinon peut on démontrer ton résultat sans faire appel à Egoroff (qui est tout de même un théorème un peu particulier)

Corentin

tu connaîtrais pas un bouquin où se trouverait ce th de convergence Lp dont tu n'as pas douté un seul instant?

corentin0 · July 2005

Mon cours d'analyse

Fubini · July 2005

bonjour

voila la dem

\lien{http://www.gabay.com/sources/Liste_Fiche.asp?CV=81}

Soit $\epsilon >0$; il existe une partie "integrable" $B$ et un nombre$\delta >0$ tels que
$$ \int _{X-B}\vert f \vert ^p

e=mc31 · July 2005

A,E,X,B qui est qui?

Un peu dur à suivre dans les détails

corentin0 · July 2005

Ah, au fait mon cours d'analyse est disponible sur internet, sur le site du dpt maths de Cachan. Le théorème est donné au chapitre 6, sous le nom convergence dominée dans les L^p.

e=mc31 · July 2005

impossble de trouver le lien. A moins que ce ne soit en intranet et donc réservé aux seuls élèves de Cachan.

corentin0 · July 2005

Non, pas du tout. Voila le lien <http://www.dptmaths.ens-cachan.fr/a9>

e=mc31 · July 2005

merci pour le lien Corentin

malheureusement le cours de mesure n'est pas en ligne.

corentin0 · July 2005

Ce n'est pas un cours de mesure, mais d'analyse fonctionnelle. Le chapitre 5 cite les résultats classiques et ils sont appliqués dans le chapitre 6.

Vianney · July 2005

Enfin... je n'ai pas l'impression de dire n'importe quoi. La convergence $L^p$, c'est $f_n$ tend vers $f$ lorsque l'intégrale etc.
Il est certes tard, mais il me semble que si l'on a $f^p$ dominé par une fonction intégrable le tcd marche.

convergence dominée dans Lp

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