puissance dans Mn(R)

alekk4 · July 2005

bonjour,

je vous propose un petit probleme bien sympathique je trouve:
Soit $M$ une matrice dans $M_n(R)$ telle que l'équation $x^2=M$ possède une solution dans $M_n(R)$. Montrer alors que l'equation $X^k=M$ a aussi une solution dans $M_n(R)$ pour tout $k>1$.

bye.

riri · July 2005

On pose $M=\begin{pmatrix}0&0&1\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}$.
On a ${\begin{pmatrix}0&1&0\\0&0&1\\0&0&0\end{pmatrix}}^2=M$.
Supposons qu'il existe $X\in\mathcal{M}_3(\R)$ telle que $M=X^3$. Alors on a $M^2=X^6=O_3$ donc $X$ est nilpotente et $M=X^3=O_3$ ce qui est absurde. En espérant ne pas avoir fait d'erreur...

alekk4 · July 2005

oui, j'étais completement à coté de la plaque tout à l'heure. Il fallait bien sûr une hypothese en plus sur $A$. Voici l'énoncé exacte:

Soit $M$ une matrice dans $M_n(R)$, INVERSIBLE, telle que l'équation $X^2=M$ possède une solution dans $M_n(R)$. Montrer alors que l'equation $X^k=M$ a aussi une solution dans $M_n(R)$ pour tout $k>1$.

shadow1 · July 2005

a) Si M est DZ et est le carré d'une autre matrice, alors l'ordre de ses valeurs propres strictement négatives est pair:
Soit X une racine carrée de M. X et M commutent (XM=X^3) donc X stabilise les espaces propres de M. Donc X et M se co-diagonalisent par blocs (prendre des bases des espaces propres) sous la forme M=($\lambda_1 I$,...,$\lambda_s I$) et X=(X1,...,Xs) (dsl je ne sais pas écrire matriciellement sous Latex). Donc pour tout i, ( X_i)² = $\lambda_i I$ et on conclut en passant au déterminant.

b) Soit M carrée d'une matrice et DZ, alors est la puissance n-ième d'une matrice pour tout n>1:
On se place sur ses espaces propres. Pour les valeurs propres positives, pas de souci, on prend des racines n-ièmes. Pour les vp1.
Soit $X_p$ une suite de matrices DZ / $(X_p)$--> X (p$\infty$)
Soit, pour tout p, $(Y_n)_p$ une racine n-ieme de (X_p)².
Il suffit maintenant d’extraire de (Y_n)_p une sous-suite convergente. Il suffit pour cela de montrer que (Y_n)_p est bornée. Pour cela, dans notre construction de racines n-ièmes à l’étape b), chaque terme est en module inferieure à |$\lambda_i$|^(1/n), donc les (Y_n)_p sont bornées (pour la norme infinie, donc pour toute norme, en dimension finie).

Voilà, bon, c’est pas très clair tout ça, mais mon incompétence en Latex m’empèche d’écrire ce que je voudrais, et dans tous les cas, ma solution, se perdant un peu dans les indices, n’est pas d’une beauté transcendante …

shadow1 · July 2005

hum... il doit y avoir un probleme ...

riri · July 2005

les $Y_n$ sont-elles à coeff dans $\R$ ?

Vianney · July 2005

a) Si $M$ est DZ et est le carré d'une autre matrice, alors l'ordre de ses valeurs propres strictement négatives est pair :
Soit $X$ une racine carrée de $M$. $X$ et $M$ commutent ($XM=X^3$) donc $X$ stabilise les espaces propres de $M$. Donc $X$ et $M$ se co-diagonalisent par blocs (prendre des bases des espaces propres) sous la forme $M=(\lambda_1 I,\ldots,\lambda_s I)$ et $X=(X_1,\ldots,X_s)$. Donc pour tout $i$, $(X_i)^2 = \lambda_i I$ et on conclut en passant au déterminant.

b) Soit $M$ carrée d'une matrice et DZ, alors est la puissance $n$-ième d'une matrice pour tout $n>1$ :
On se place sur ses espaces propres. Pour les valeurs propres positives, pas de souci, on prend des racines $n$-ièmes. Pour les vp1$.
Soit $X_p$ une suite de matrices DZ tq $(X_p)\longrightarrow X_{\infty}$.
Soit, pour tout $p$, $(Y_n)_p$ une racine $n$-ieme de $(X_p)^2$.
Il suffit maintenant d’extraire de $(Y_n)_p$ une sous-suite convergente. Il suffit pour cela de montrer que $(Y_n)_p$ est bornée. Pour cela, dans notre construction de racines $n$-ièmes à l’étape b), chaque terme est en module inferieure à $|\lambda_i|^{1/n}$, donc les $(Y_n)_p$ sont bornées (pour la norme infinie, donc pour toute norme, en dimension finie).

Voilà, bon, c’est pas très clair tout ça, mais mon incompétence en Latex m’empèche d’écrire ce que je voudrais, et dans tous les cas, ma solution, se perdant un peu dans les indices, n’est pas d’une beauté transcendante …

alekk4 · July 2005

que veut dire DZ ?

alekk4 · July 2005

en tout cas ma solution était très artificielle et se basait sur l'exponentielle de matrice. Ca serait interessant d'avoir une autre approche.

riri · July 2005

Je pense que ça veut dire diagonalisable mais le problème c'est qu'il a trouvé une solution de $M=X^n$ mais dans $\mathcal{M}_n(\C)$.

riri · July 2005

l'exponentielle de matrice réalise une surjection de $\mathcal{M}_n(\R)$ sur $\mathcal{GL}_n^+(\R)$, c'est ça ?
si c'est le cas c'est vrai qu'on conclut assez rapidement puisque $\det{M}>0$.

LIAUTARD1 · July 2005

Bonjour

l'exponentielle est une surjection de Mn(R) sur les matices inversibles X qui peuvent s'écrire sous la forme

X= B*B

Ce qui correspond au problème posé reste à le démontrer!,

L'exponentielle est surjective de Mn(C) dans GLn(C), plus facile à démontrer.

Cordialement

alekk4 · July 2005

bonsoir Lieutard,

comme tu dis, si on sait que $M$ est un carré dans $M_n(R)$ alors on sait aussi (tu viens de le rappeler plus haut) qu'il existe une matrice $A \in M_n(R)$ telle que $exp(A)=M$. Il suffit donc de prendre $X=exp(A/k)$ pour avoir $X^k=M$.
Voilà ce qu'était ma solution. Mais j'espèrait que quelqu'un trouverait une approche plus naturelle.

michel coste0 · July 2005

Bonjour,

Je signale que le texte "Exponentielle de matrice" sur le site

http://agreg-maths.univ-rennes1.fr/

(Documents pédagogiques > développements)

aborde ces questions d'exponentielle de matrice réelle en donnant des références. Pour montrer que l'image par l'exponentielle de $M_n(\R)$ est l'ensemble des carrés inversibles, le point clé est de raffiner le résultat sur la surjectivité de l'exponentielle sur les complexes en montrant que pour toute matrice inversible complexe $M$ il existe $A$ polynôme en $M$ tel que $M=\exp(A)$.

Cordialement,

M. Coste

puissance dans Mn(R)

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