Sup-Sup problème

laribi
laribi
dans Analyse
Bonjour à tous

À quelles conditions on a l'égalité suivante $$
\sup_{x}\big(\sup_{y} f(x,y)\big)=\sup_{(x,y)} (f(x,y)),\quad x>0,\ y>0 \qquad ?

$$ Merci.

Réponses

  • gebrane
    gebrane
    Si $f:\, E\times F\to \R,$ avec $E, F$ non vides, il suffit que $f(E\times F)$ est bornée. Tu peux procéder par des inégalités.
    Lorsque notre cher Nico, le professeur, intervient dans une question d'analyse, c'est une véritable joie pour les lecteurs..


  • laribi
    laribi
    comment je peux procéder par des inégalités?
  • gebrane
    gebrane
    Comment? En réfléchissant un peu
    Lorsque notre cher Nico, le professeur, intervient dans une question d'analyse, c'est une véritable joie pour les lecteurs..


  • laribi
    laribi
    je veux dire à quel instant je dois utiliser que |f(E*F)| est bornée, parce que je ne comprends pas pourquoi vous avez proposé cette condition.
  • gebrane
    gebrane
    Existence des sup ?
    Pour démarrer
    $f(x, y) \le \sup \limits_y f(x, y) \le \sup \limits_x \sup \limits_y f(x, y)$ donc $\sup_{x,y)} f(x, y) \le\sup \limits_x \sup \limits_y f(x, y)$
    (edit J'ai mis bornée au cas où tu as besoin la même propriété sur les inf)
    Lorsque notre cher Nico, le professeur, intervient dans une question d'analyse, c'est une véritable joie pour les lecteurs..


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