Critère séquentiel

Playa
Playa
dans Analyse
Bonjour,

Pourquoi dans les bouquins le critère séquentiel n'est pas utilisé pour montrer la continuité des fonctions à plusieurs variables. Je trouve personnellement que c'est très pratique pour les cas faciles :
Exemple : $f(x,y)=\ln(x)e^y.$
On prend $x_n \to a>0$ et $y_n \to b$. Il est clair que $f(x_n, y_n)=\ln(x_n).e^{y_n}\to\ln(a)e^b=f(a, b)$ (par continuité des fonctions à 1 variable $\ln$ et $\exp$.
Merci.

Réponses

  • Homo Topi
    Homo Topi
    En principe, si, c'est fait dans les bouquins. Tu vas trouver une caractérisation séquentielle de la continuité des fonctions définies dans un espace métrique. $\mathbb{R}^n$ en est un, donc ce que tu demandes n'est qu'un cas particulier.

    Après, est-ce qu'il y a beaucoup d'exercices pour mettre ça en pratique pour une fonction de plusieurs variables ? Je pense que ça va dépendre du bouquin.
  • Playa
    Playa
    @Homo Topi :
    Merci.
    Je n'ai pas été clair.
    Bien sûr la caractérisation séquentielle est présente.
    Ce que je ne comprends pas c'est son utilisation qui se restreint uniquement dans la majorité des cas pour montrer q'une fonction n'est pas continue. Alors qu'il me semble qu'elle est également pratique pour montrer la continuité pour les cas simple (mieux que la définition avec epsilon).
  • Homo Topi
    Homo Topi
    Ah, ça... oui, ça serait bien que dans chaque bouquin, pour chaque résultat, il y ait des applications très variées. Je ne sais pas trop pourquoi on ne trouve pas beaucoup de ça.
  • gb
    gb
    Bonjour,

    L'exemple proposé avec \(\ln(x).e^y\) ne me semble pas vraiment pertinent.

    Les projections \(\pi_x\colon(x,y)\mapsto x\) et \(\pi_y\colon(x,y)\mapsto y\) sont continues comme formes linéaires sur un espace de dimension finie…
    Par composition, les fonctions \(\ln\circ\pi_x\) et \(\exp\circ\pi_y\) sont continues donc la fonction \(f\) l'est également par produit.

    Je ne vois pas ce l'intérêt du critère séquentiel qui use des mêmes arguments ; il est par contre fort pratique pour prouver la discontinuité en un point.
  • Playa
    Playa
    @gb

    D'un point de vue pédagogique :

    A mon avis, utiliser le caractérisation séquentielle comme définition alternative de la continuité (Sur $\mathbb{R}^n$) est plus facile à comprendre que la définition avec epsilon. Et surtout ça évitera de trop parler des normes sur $\mathbb{R}^n$.
    Avec la séquentielle, c'est facile car on revient à la continuité sur $\mathbb{R}$ et aux suite sur $\mathbb{R}$.

    Je parle bien sûr d'un publique type fac économie, IUT...
  • gebrane
    gebrane
    bonjour,
    Content de te revoir gb.
    Lorsque notre cher Nico, le professeur, intervient dans une question d'analyse, c'est une véritable joie pour les lecteurs..


  • Dom
    Dom
    gebrane disait : a écrit:
    bonjour,
    Content de te revoir gb.

    Tiens je me faisais la même réflexion.
    Salut gb !

    Sur le fond, en effet, les critères séquentiels sont commodes pour démontrer une non continuité.
  • gb
    gb
    @Playa

    Dans ma façon de traiter \(\ln(x).e^x\) je ne reviens pas aux "epsilons", je me contente d'utiliser des théorèmes généraux sur la continuité, qui sont ceux que tu utilises pour manipuler les suites, c'est pourquoi je ne vois pas l'intérêt du critère séquentiel dans ce cas particulier.
    S'il y a ponctuellement une difficulté à traiter avec tact et délicatesse, je conviens que le critère séquentiel ait son intérêt, surtout pour un public de "non-spécialistes", mais aucun ne me vient à l'esprit pour l'instant (pour traiter de la continuité, pour la discontinuité, je pense en effet que le critère séquentiel est très pratique).

    @gebrane et Domi (dont le message est arrivé pendant que je répondais à Playa)

    Merci de ton votre accueil qui me touche particulièrement.
  • Dom
    Dom
    Bonjour,

    Dans ce fil, on utilise une approche séquentielle pour deux variables (dans le cadre du graphe d'une fonction).
    Cela m'est apparu être dans le sujet, peut-être pas pleinement mais bon...

    http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?4,1901852,1901858#msg-1901858

    Bonne journée

    Dom
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.

Bonjour!

Pour participer au forum, cliquer sur l'un des boutons :

Connexion S'inscrire

Catégories

In this Discussion