Convergence ou divergence d'une série numérique.

Alex_grrr · July 2005

Bonjour tout le monde. Je souhaiterais un petit coup de pouce pour montrer la divergence d'une série numérique.
( je pense qu'elle diverge)

on pose $\forall n \in \N, \ U_{n}= \int_{0}^{\infinity} e^{-t}sin^{2n}t\ dt$

On montre aisément par deux intégrations par partie :
$U_{n} \ = \frac^{2n(2n-1)}_{1+4n^{2}}\ U_{n-1}$

Puis par récurrence évidente :

$\forall n \in\N,\ U_{n} \ = \ \frac_{\prod^{n}_{k=1}(1+4k^{2})}^{2n!}$

Zantac · July 2005

Effectivement la formule pour $U_n$ est juste. Ensuite, peut-être qu'il faut calculer $U_{n+1}/U_n$, et ensuite se servir d'un théorème quand $U_{n+1}/U_n = 1+...$. Si ça ne marche pas je vais réfléchir à autre chose.

Alex_grrr · July 2005

Je suis désolé jai posté cette version du message par inadvertance

[C'est corrigé. md.]

michael · July 2005

Effectivement la formule pour $U_n$ est juste. Ensuite, peut-être qu'il faut calculer $U_{n+1}/U_n$, et ensuite se servir d'un théorème quand $U_{n+1}/U_n = 1+...$. Si ça ne marche pas je vais réfléchir à autre chose.

Guillaume8 · July 2005

Oui je pense que ca converge.
U(n+1)/Un = 1 - 2/n + O(1/n^2)
Donc Un ~ A*1/n^2 (classique)
Donc la série converge.

Zantac · July 2005

Voilà, c'est ce à quoi je pensais (mais je ne me souvenais plus trop du théorème :-().

Alex_grrr · July 2005

re-coucou

Dans mon cours de maths ( PSI ), le critère de d'alembert ne fournit pas de réponse lorsque le quotien $\frac{U_{n+1}}{U_{n}} \longrightarrow 1$ quand $n \longrightarrow \infty$.
a

Ici on a $\frac{U_{n+1}}{U_{n}}=1-\frac{(2n+3)}{4n^{2}+8n+5} $

Jai entendu dire qu'il existait des règles permettant de conclure dans ces conditions.

Quelqu'un pourrait-il m'expliquer ?

PS : ca n'a rien a voir mais jai des gros soucis avec l'option "aperçu" de ce que je tape en latex. En fait ca rafraichit pas parfois

michael · July 2005

Salut,

Au sujet de LaTeX : clique sur le bouton "actualiser" de ton navigateur.

michaël.

jean Lismonde0 · July 2005

bonjour

en supposant que l'expression de U(n) est bonne (ce que je n'ai pas vérifié) on peut montrer qu'elle converge en effet avec n en utilisant l'équivalent de Wallis:

(2n)!/[4^n.(n!)²] est équivalent lorsque n grandit à 1/racine(n.pi)

ici on met en facteur 2².4².6².......(2n)² au dénominateur de U(n) il vient:

U(n)=(2n)!/[4^n.(n!)²(1+1/2²)(1+1/4²)(1+1/6²).....(1+1/(2n)²]

or l'expression (1+1/2²)(1+1/4²)(1+1/6²).......(1+1/4n²) lorsque n tend vers l'infini
tend elle-même vers sh(pi/2) d'après le produit eulérien correspondant au sinus hyperbolique

et donc U(n) est équivalent finalement à 1/[racine(pi.n).sh(pi/2)]

U(n) converge bien vers 0 (d'une façon assez modérée)

cordialement

Richard André-Jeannin1 · July 2005

Imaginez l'allure de sin^(2n)(t) lorsque n est très grand. Multipliez le tout par exp(-t). La limite est facile à deviner.

curieux0 · July 2005

"bonjour

en supposant que l'expression de U(n) est bonne (ce que je n'ai pas vérifié) on peut montrer qu'elle converge en effet avec n en utilisant l'équivalent de Wallis:

(2n)!/[4^n.(n!)²] est équivalent lorsque n grandit à 1/racine(n.pi)

ici on met en facteur 2².4².6².......(2n)² au dénominateur de U(n) il vient:

U(n)=(2n)!/[4^n.(n!)²(1+1/2²)(1+1/4²)(1+1/6²).....(1+1/(2n)²]

or l'expression (1+1/2²)(1+1/4²)(1+1/6²).......(1+1/4n²) lorsque n tend vers l'infini
tend elle-même vers sh(pi/2) d'après le produit eulérien correspondant au sinus hyperbolique

et donc U(n) est équivalent finalement à 1/[racine(pi.n).sh(pi/2)]

U(n) converge bien vers 0 (d'une façon assez modérée)

cordialement"

Le fait que la suite (Un) CV vers 0 ne prouve rien étant donné que c seulement une condition necessaire.

Par contre d'apres ton raisonement, Un étant un équivalent à 1/[racine(Pi.n).sh(pi/2)],la nature de la série de terme général Un est la meme que celle de terme général 1/[(Pi.n).sh(pi/2)] qui diverge (serie de Riemmann divergeante).

Alex_grrr · July 2005

OkAille c'est bon ca converge !

En effet $\frac{U_{n+1}}{U_{n}}-1 \sim -\frac{1}{2n} $

Donc il existe $n_{0} \in \N$ tel que $\frac{U_{n+1}}{U_{n}}-1$

curieux0 · July 2005

Pour le précédent message, c parce qu'il parle d'une série, donc je suppose la série de terme général Un .

Par contre si on parle de suite Un, alors elle est convergente vers 0 (sin^(2n)(t) converge vers 0 si t est différent de pi/2 modulo pi et vers 1 si t=pi/2+k*pi) On utilise le Th de convergence dominée pour intervertire limite et intégrale, et on obtient que la limite de Un est égale a l'intégrale de exp(-t) sur l'ensemble {t : t=pi/2+k*pi} qui est un Lebesque négligeable, donc l'intégrale sur cet ensemble est nulle.

Alex_grrr · July 2005

Hum .....

Peut-être je ne l'ai pas suffisamment précisé mais je m'interesse à la convergence de la série $\sum_{i=0}^{n} Un $

Montrer que la divergence n'est pas triviale ( $U_{n} \longrightarrow 0$ ) est effectivement triviale avec la formule de stirling.

jean Lismonde0 · July 2005

bonsoir

je complète mon message précédent:

U(n) est équivalent pour n grand à 1/[sh(pi/2).rac(pi.n)]

alors la somme algébrique arrêtée au rang n des termes U(n) sera équivalente pour n grand à [2rac(n/pi)]/sh(pi/2) et donc divergente avec n

la série est bien divergente; on aurait le voir directement à partir de l'intégrale: la limite de la série de terme U(n) est:

intégrale sur R+ de exp(-t).dt/[1-sin²t]

le dénominateur de la fonction à intégrer est positif ou nul; il s'annule sur R+ pour pi/2; 3pi/2; 5pi/2...

il n'existe aucune compensation dans les divergences successives de la fonction à intégrer et l'intégrale et donc la série est bien divergente

cordialement

Zantac · July 2005

Pour Alex_grrr.

Ce n'est pas parce que U_n est décroissante que la série converge ! On ne conclut donc pas classiquement comme tu dis.

alex_grrr0 · July 2005

Pour Zantac.

Théorème :
$\sum U_{n}$ une série à termes positifs

$\frac{U_{n+1}}{U_{n}} \longrightarrow k \in $ [0,1[$\Rightarrow \sum U_{n}$ converge.

Là on sait que ca tend vers 1 ( cas litigieux ) mais par valeur inférieure. Je pensais qu'on pouvait conclure avec les arguements de mon message précédent mais j'en suis plus tres sur

.

Au secours

Alex_grrr · July 2005

à jean

Je n'ai pas encore entendu parlé de produit eulerien. Est ce que tu peux mexpliquer brièvement comment tu montres cette convergence ?

Le fait que le produit converge, c'est simple ! mais pour trouver vers quoi j'en ai aucune idée :[

En admettant que ton résultat est juste, je suis parfaitement d accord avec ton équivalent à savoir :

$U_{n} \sim \frac{K}{(\pi n)^{\frac{1}{2}}}$

avec K étant l inverse de la limite du produit.

Alors ma série converge pas :[

snif

jean Lismonde0 · July 2005

bonjour

le produit infini eulérien correspondant au sinus circulaire est:

sin(pi.x)/pi.x = (1-x²)(1-x²/2²)(1-x²/3²)........(1-x²/n²)........

dont la convergence est assurée quel que soit x

le produit infini eulérien correspondant au sinus hyperbolique est:

sh(pi.x)/pi.x = (1+x²)(1+x²/2²)(1+x²/3²)..........(1+x²/n²).........

il suffit de changer x en i.x dans le premier produit infini

Euler avait trouvé le premier produit infini par factorisation de la fonction f en n facteurs et passage à la limite pour n infini :

f(x)=(1+i.x/n)^n + (1+i.x/n)^n

mais on peut trouver aussi ce produit infini par factorisation du binôme
1 + x^n en n facteurs et transformation de x en exp(ix) puis passage à la limite pour n infini

je signale que JJ a récemment utilisé le second produit infini pour trouver une limite

cordialement

Convergence ou divergence d'une série numérique.

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