[physique] Hydrodynamique

Bonjour,

J'espère que les mathématiciens pourront m'aider dans ce problème de physique.

Il m'a été soumis un problème d'hydrodynamique que j'essaie de résoudre.

Le problème est le suivant :
Dans un "bocal rectangulaire" (isolé par la pensée) règnent deux fluides de densités différentes ($\rho_+$ et $\rho_-$) en contact : la distinction entre ces deux fluides est "nette" schématiquement [le bocal est séparé en 2]. La limite supérieure du bocal est donnée par $h_+$, et la limite inférieure $h_-$. A l'extérieur du bocal, il règle la pression $P_{ext}$, et le bocal est soumis à la gravitation $g$.

A l'interface de ces deux fluides en contact, on isole (par la pensée) un cylindre de hauteur $h$ et de section $S$ qui contient donc les deux fluides de densités différentes. Cet état est l'état d'équilibre.

Puis (toujours par la pensée), on bouge le cylindre vers le bas d'une petite distance $z$, telle que l'interface entre les deux fluides à l'intérieur du cylindre s'est aussi déplacée par rapport à l'interface entre les deux fluides dans la bocal.

Il m'est demandé d'écrire l'équation de mouvement du cylindre : ($\dfrac{dz^2}{dt^2}=\ldots$).

Je ne vois pas comment débuter (mis à part somme des forces = masse*accélération dans un réflérentiel galiléen) car le cylindre contient deux fluides de densités différentes, et il est soumis à des pressions différentes. Les forces que j'ai pu identifiées sont : le propre poids du cylindre $\displaystyle (\frac{h}{2}S\rho_+ + \frac{h}{2}S\rho_-)g$ selon $-e_z$ si $e_z$ est ascendant, et les forces d'Archimède de la part du fluide $\rho_+$ et de la part du fluide $\rho_-$ (c'est lamentable mais je ne me rappelle plus l'expression d'Archimède).

Est-ce la bonne démarche ? Comment mettre en équations ?

En recherchant dans la littérature, j'ai pu trouver :
En appliquant le PFD (froces extérieures : Archimède et poids) : $\overrightarrow{\gamma}\rho dV=\rho_1 dV(\overrightarrow{g}-\overrightarrow{a})-\rho_2 dV(\overrightarrow{g}-\overrightarrow{a})$, où $\overrightarrow{\gamma}$ est l'accélération relative du cylindre, $\overrightarrow{a}$ l'accélération de l'interface dans un repère galiléen, et $\overrightarrow{g}$ l'accélération de la pesanteur.

Mais je ne la comprends ni les signes $-$, ni d'où sort le $\overrightarrow{g}-\overrightarrow{a}$ (en vecteurs) !

D'autre part, pouvez-vous développer l'expression suivante (avec les composantes) pour que j'y voie plus clair ? : $(\overrightarrow{v_1}.\overrightarrow{\nabla})\overrightarrow{v_1}$

Merci beaucoup de vos réponses !