Équation différentielle non linéaire

Bonjour
Quelqu'un peut m'aider à résoudre l'équation différentielle SVP ? $$

y'=x\sqrt{x^2+y^2}

$$ Merci d'avance.

Réponses

  • Bonjour,

    On pose $\displaystyle y’=p$.

    On a donc $\displaystyle p=x \sqrt{x^2+y^2}$ et donc $\displaystyle y^2=p^2/x^2-x^2.$
    On exprime $y$ en prenant la racine carrée et on dérive par rapport à $x$ : $\displaystyle p=\pm {p^2+x^4\over x^2\sqrt{p^2-x^4}}.$
    C’est un polynôme du second degré en $\displaystyle (p/x^2)^2$ et seule la racine positive est retenue $\displaystyle p^2={x^8+ 2 x^4+x^6 \sqrt{x^4+8}\over 2(x^4-1)}.$
    Voilà !

    Pour être complet on peut retenir la racine négative avec $\displaystyle p^2=-{...-x^6\sqrt{x^4+8}\over...}$ qui est continue en $\pm 1.$
  • Merci infiniment pour votre réponse YvesM
  • Cher YvesM
    Je n'ai pas compris, peux- tu me donner les solutions y que tu trouves pour vérifier
    NB Wolfram ne sait pas résoudre cette équation
    Lorsque notre cher Nico, le professeur, intervient dans une question d'analyse, c'est une véritable joie pour les lecteurs..


  • Bonjour,

    On a $y^2$ selon $p^2$ et $x$ ; je donne $p^2$ selon $x$ : on a donc $y^2$ selon $x .$
  • YvesM mon cher compagnon
    Donne moi tes solutions y(x) stp. j'ai la tête lourde ce soir
    Lorsque notre cher Nico, le professeur, intervient dans une question d'analyse, c'est une véritable joie pour les lecteurs..


  • Bonjour,

    Je suis sur mon portable (comme toujours). C’est super long à écrire. Relis mes deux messages : c’est une simple substitution pour trouver $y(x)$ !
  • Justement YvesM, je ne comprends pas: ta solution présente une explosion aux points -1 et 1
    Lorsque notre cher Nico, le professeur, intervient dans une question d'analyse, c'est une véritable joie pour les lecteurs..


  • Bonjour,

    Et alors ?
    Si tu veux une solution définie en $\pm 1$, trouve-la ! Je n’ai retenu que le signe positif devant $\sqrt{x^4+8}$ : tu peux choisir le signe négatif : la fonction rationnelle est alors prolongeable en $\pm 1.$ Il faut bien sûr mettre un signe moins devant le tout pour assurer $p^2>0.$

    L’énoncé donné dans le fil n’a pas de condition initiale.
  • Très jolie solution Yves,

    Gebrane fais un effort avant d'en demander aux autres...
  • @reuns salut

    je ne ferais aucun effort, je ne suis pas l'auteur de la question sur les mathématiques.net .
    En contre partie, peux-tu faire l'effort de convaincre la communité ME de la methode de YvesM . ils ont dit que le probleme ne peut pas avoir une solution exacte. je te souhaite bon courage

    @YvesM bonjour compagnon

    j'ai voulu aider seulement taib car si on prend une condition initiale y(1) il y a un probleme dans ta solution , c'est pourquoi je t'ai demandé tes solutions. Puisque tu ne veux pas donner une solution du probleme avec $y(1)=\alpha$ pour taib. Je ne me sens as obliger aussi de le faire.
    Lorsque notre cher Nico, le professeur, intervient dans une question d'analyse, c'est une véritable joie pour les lecteurs..


  • Bonjour
    @gebrane : à aucun moment dans ce fil on a demandé de résoudre l’équation différentielle avec une condition initiale.
    J’essaie de répondre à la question posée et ne peux pas inventer l’énoncé.
    Je trouve deux solutions. Si on donne une condition initiale on change le problème.

    Tu mentionnes $y(1)=\alpha$. Est-ce la condition initiale ? Et si d’autres ont démontré que la solution ne peut pas être écrite explicitement, c’est bizarre de me demander une formule explicite, non ? Une de mes solutions définie en $1$ est solution pour un certain $\alpha$.
  • Mon ami YvesM
    Lorsqu'on sait résoudre un problème sans condition initiale, le problème avec condition initiale s'en déduit immédiatement. Je ne cherche pas à coincer quiconque, c'est loin de là. Tu as terminé ta réponde initial par Voilà !, j'ai senti que le problème n'était pas complètement résolu, c'est pourquoi j'ai insisté sur tes solutions.
    Puisque l'auteur de la question était content, on en resta là.
    Cordialement et sans rancune mon ami.

    edit Un commentaire était effacé et une solution incomplète avec les séries est donnée, je vais faire le calcul ce soir.
    Lorsque notre cher Nico, le professeur, intervient dans une question d'analyse, c'est une véritable joie pour les lecteurs..


Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.