Opérateur

houria · July 2005

Bonjour à tous,

Je souhaiterais avoir de l'aide sur ce qui suit:
Etant donnés $\Omega$un ouvert borné de $R^{N}$, $D\subset \Omega$ et $g\in L^{2}(D)$, je défini $L :L^{2}(D)\rightarrow L^{2}(0,T; Y)$ où $T>0$ et $Y$ un espace de Hilbert réel, par
$$(Lg)(t)=\int_{D}z(x,t)g(x)dx$$
où $z\in L^{2}(\Omega)$.

Alors, ainsi défini, $L$ désigne-t-il un opérateur?
Si oui, $(L^{*}h)(t)=h(t)\int_{D}z(x,t)dx$, $h \in L^{2}(0,T; Y)$ définit-il son adjoint?

Merci

Eric Chopin · July 2005

Salut,

Je ne comprends pas bien tes notations. Qu'est-ce qui est à valeurs
dans Y ? z ou g? Je t'avoue n'avoir pas tout bien compris.

a+

eric

houria · July 2005

Salut,

L'integrale sur D est dans Y.

Pitou · July 2005

Ben oui mais comme le dit Eric, tu as seulement écrit $g,z \in L^2(D)$ donc a priori l'intégrale est un réel...

houria · July 2005

<IMG WIDTH="11" HEIGHT="29" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2005/07/13/63134/cv/img1.png" ALT="$ g$"> est une fonction de <IMG WIDTH="12" HEIGHT="13" ALIGN="BOTTOM" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2005/07/13/63134/cv/img2.png" ALT="$ x$"> et est dans <IMG WIDTH="47" HEIGHT="34" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2005/07/13/63134/cv/img3.png" ALT="$ L^{2}(D)$">, <IMG WIDTH="11" HEIGHT="13" ALIGN="BOTTOM" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2005/07/13/63134/cv/img4.png" ALT="$ z$"> est une fonction de <IMG WIDTH="12" HEIGHT="13" ALIGN="BOTTOM" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2005/07/13/63134/cv/img2.png" ALT="$ x$"> et de <IMG WIDTH="9" HEIGHT="13" ALIGN="BOTTOM" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2005/07/13/63134/cv/img5.png" ALT="$ t$"> et est dans <IMG WIDTH="45" HEIGHT="34" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2005/07/13/63134/cv/img6.png" ALT="$ L^{2}(\Omega)$"> par rapport à <IMG WIDTH="12" HEIGHT="13" ALIGN="BOTTOM" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2005/07/13/63134/cv/img2.png" ALT="$ x$">. L'intégrale est une fonction de réelle de <IMG WIDTH="9" HEIGHT="13" ALIGN="BOTTOM" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2005/07/13/63134/cv/img5.png" ALT="$ t$">.

Pitou · July 2005

Donc en fait $Y=\R$ ?

houria · July 2005

Ca pourrait être $R^{q}$, $q \geq 1$
(désolé latex ne marche pas chez moi)

Alain Debreil · July 2005

Ca pourrait être $R^{q},\ q \geq 1$

corentin0 · July 2005

Ca va pas ce truc. On ne peut pas avoir à la fois z et g définis sur $\Omega$ et d'un coté g(x) et d'un autre z(x,t).
Il faudrait préciser un peu l'énoncé. (j'en profite pour dire que le nouveau latex est très à mon goût)

mat9 · July 2005

bon commençons à repondre...

En appliquant holder il apparait clairement que ton L est definit dans les ensembles que tu as donné si la norme L2 de z par rapport à x est integrable par rapport à t(alors je ne connais pas trop tes hypotheses mais bon ça doit surement y figurer sinon t'es n..)

tonton0 · July 2005

houria : pour la première question ; tu dois écrire plutot : L est-il un op linéaire ? car op seulement est évident ! en effet il est linéaire

mat9 · July 2005

il voulait surtout dire je pense est ce défini de L2 de machin truc dans L2 de machin chose car oui linéaire si il est défini c'est evident..et pour qu'il soit défini il manque une précision en effet dans les hypotheses.

mat9 · July 2005

Au fait pour les non connaisseurs, pour Y on peut prendre n'importe quoi tant que ça reste dans le domaine espace de Banach voire intégration au sens de Bochner.

J'ai l'impression que ton adjoint n'a pas de sens, je regarderai ça demain quand la nuit sera passée.

Vianney · July 2005

$g$ est une fonction de $x$ et est dans $L^{2}(D)$, $z$ est une fonction de $x$ et de $t$ et est dans $L^{2}(\Omega)$ par rapport à $x$. L'intégrale est une fonction de réelle de $t$.

houria · July 2005

Bonjour à tous,

Je ne vois pas ce qu'il faut préciser de plus que z est à carré intégrable par rapport à x et continue pa rapport à t, je veux bien que m'éclairiez!

à+

mat9 · July 2005

desolé mais t'avais oublié ça continue par rapport à t qui etait tre important...

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