séparation de variables dans EDP

Soit $P$ et $Q$ deux opérateurs différentiels en $x$ et $t$ respectivement, l'EDP séparée s'écrit
$$ Pu = Q u $$
Avec tes notations, on a :
$$ t P s = s Q t$$
Soit en divisant par $st$ (on cherche des solutions ne s'annulant pas),
$$ \frac{Ps}{s} = \frac{Qt}{t} $$
On a l'égalité d'une fonction de $x$ avec une fonction de $t$ : elles sont donc constantes, il existe une constante $E$, telle que $t$ et $s$ soient les solutions des EDO :
$$ Ps= Es$$
$$ Qt = Et$$

Par exemple l'équation de la chaleur :
$$ \frac{ \partial u }{\partial t } = \frac{ \partial^2 u }{\partial x^2 }$$
On obtient : avec $u(x,t)= f(x)g(t)$
$$g'=-Eg$$
et
$$ f'' = -E f$$
soit
$$ u(x,t)= \exp{(-Et)} ( A \cos{ ( \sqrt(E) x } + B \sin{ ( \sqrt(E) x })$$

souvent : les conditions aux limites impliquent la quantification de $E$ (physique quantique )

A noter que cette méthode donne facilement des solutions, mais est loin de toutes les donner, c'est pourquoi Fourier a inventé ses séries et sa transformée pour l'équation de la chaleur, afin de faire des "combinaisons linéaires infini dénombrables puis continues" des solutions

$$ u(x,t)= \exp{(-Et)} [ A \cos{ ( \sqrt{E} x }) + B \sin{ ( \sqrt{E} x })]$$

La méthode de séparation des variables consiste à CHERCHER des solutions de la forme f(x)g(t). On raisonne par condition nécessaire, c'est-à-dire qu'on suppose l'existence d'une telle solution, on mène les calculs, et ensuite on doit vérifier que ce qu'on a trouvé est bien suffisamment régulier et est une solution de l'équation. C'est donc une méthode rigoureuse ; cependant rien n'indique qu'il n'y ait pas d'autres solutions à l'équation (comme pour l'équation de la chaleur).

Bonjour,

Excusez-moi, mais j’ai l’impression qu’on est en train d’enfoncer des portes ouvertes.
Ayant une EDP quelconque (et non nécessairement linéaire ou particulièrement simple) et dont on cherche des solutions u(x,y), on peut séparer les variables d’une infinité de façons.
On peut, évidemment, chercher s’il y a des solutions qui se présenteraient sous la forme u(x,y) = f(x)*g(y)
On peut aussi chercher s’il y a des solutions qui se présenteraient sous la forme u(x,y) = F(x)+G(y)
ou de bien d’autres façons…
Mais pour l’instant, en tant qu’exemple, comparons les deux possibilités précédentes de séparation des variables.
Considérons la fonction v(x,y) =ln(u(x,y)), qui, portée dans l’EDP initiale donne une autre EDP sur laquelle on fait une séparation des variables du genre v(x,y)=F(x)+G(y) , avec F(x)=ln(f(x) et G(x)=ln(y). On voit que cela revient exactement au même que de faire une séparation de variables du genre u(x,y) = f(x)*g(y) sur l’EDP initiale.
Ceci pour dire qu’avant de faire une séparation de variables, on peut faire autant de changements de fonctions que l’on veut, c’est à dire poser w(x,y )= (la fonction que l’on veut de u(x,y) ) puis, après transformation de l’EDP, essayer un séparation de variable du genre w(x,y) = F(x)+G(y), par exemple.
On a donc une infinité de possibilités. En disant ceci, je n’apporte rien de nouveau : c’est évident.
On constatera que la séparation des variables sera effective ou non, selon que la soit-disant ‘’fonction que l’on veut ‘’ a été bien choisie ou non.
Par exemple, si la séparation des variables du genre u(x,y) = f(x)*g(y) ne marche pas sur l’EDP initiale, et si on pose v(x,y) =ln(u(x,y)) alors la séparation des variables du genre v(x,y) = F(x)+G(y) ne marchera pas non plus pour l’EDP transformée. Mais il se peut qu’au lieu de v(x,y) = F(x)+G(y), la séparation des variables du genre v(x,y) = F(x)*G(y) marche pour l’équation transformée. Ce qui veut dire qu’une séparation des variables du genre u(x,y) = exp(F(x)*G(y)) aurait convenu pour l’EDP initiale.
Je ne vois rien de mystérieux dans tout cela, ni quelle règle générale pourrait en être tirée (ce qui reviendrait à dire qu’au vu d’une EDP quelconque, on saurait comment la transformer systématiquement pour la ramener à une EDP que l’on sait résoudre).
Il est vrai que les problèmes posés sont souvent des cas d’école qui ont été choisis justement pour que la traditionnelle séparation du genre u(x,y)= f(x)*g(y) convienne et ne pose pas de difficulté excessive à celui qui doit résoudre le problème.