Quels sont les éléments d'un espace mesurable

Neel
Neel
dans Probabilités, théorie de la mesure
Salut à tous
pour moi un espace mesurable est tout simplement: un couple de la forme (X,m)...
où: X est un ensemble quelconque et m est une tribu sur X
jusqu'ici tout est clair.
mais lorsqu'on a traité la notion de fonctions définies sur un espace mesurable et a valeur dans un autre
je me suis perdu !!!!!
puisque je n'ai aucune idée sur la nature des éléments d'un espace mesurable,
est-ce qu'ils sont des éléments de la tribu m
ou bien ce ne sont que des éléments (ordinaires) de l'ensemble X

Réponses

  • Homo Topi
    Homo Topi
    Une application, c'est toujours un truc qui va d'un ensemble dans un autre. Si $(X, \mathcal{M})$ et $(Y, \mathcal{N})$ sont deux espaces mesurables, la notion intéressante est celle d'application mesurable de $X$ dans $Y$. Une application (mesurable ou non) entre les deux espaces mesurables, c'est juste une $f : X \longrightarrow Y$.
  • Homo Topi
    Homo Topi
    Je te donne une astuce supplémentaire : tu atteins un niveau mathématique où l'on étudie les structures sur un ensemble. On peut munir (par exemple) $\mathbb{R}$ d'une structure de groupe, de corps, de $\mathbb{R}$-espace vectoriel, d'espace topologique, d'espace mesurable et j'en passe. N'empêche que l'ensemble sous-jacent, c'est toujours $\mathbb{R}$.

    Dès lors qu'on s'intéresse à une structure, il apparaît la notion de morphisme. Tu connais ce mot de ton cours d'algèbre (morphisme de groupes, morphisme de corps...). Mais on peut l'utiliser en dehors de l'algèbre si on se dit qu'un morphisme d'une certaine structure, c'est une application entre deux ensembles qui peuvent être munis de cette structure et qui la préservent (bon, là, il faut réfléchir ce que ça veut dire en fonction de la structure).

    Un morphisme d'espaces vectoriels, c'est une application qui préserve "le truc propre aux espaces vectoriels", donc les combinaisons linéaires. On appelle ça une application linéaire.

    Un morphisme d'espaces topologiques, ça préserve (entre autres) les ouverts, on appelle ça une application continue. Et un morphisme d'espaces mesurables, ça préserve les parties mesurables, on appelle ça une application mesurable.

    Mais tout comme un morphisme de groupes entre $(\mathbb{R},+)$ et $(\mathbb{Z},+)$ est une application $f : \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{Z}$ qui vérifie des conditions supplémentaires, une application entre deux espaces mesurables est définie entre les ensembles sous-jacents à ces espaces mesurables, tout simplement (et on peut lui imposer des conditions supplémentaires si on veut qu'elle soit mesurable).
  • Georges Abitbol
    Georges Abitbol
    @Neel : En effet, il y a un abus de langage. On dit parfois "une application mesurable $(X,M) \rightarrow (Y,N)$" mais à chaque fois, on parle en fait d'une application $X \rightarrow Y$.
  • Neel
    Neel
    si j'ai bien compris
    "une application f : (X,M) --> (Y,N) entre deux espaces mesurables...
    est tout simplement une app définie entre les ensembles sous-jacents à ces espaces mesurables."
    en d'autres termes:
    si on considère f(x)
    alors le (petit) x,
    est un élément (ordinaire) appartenant à X
    mais pas un sous-ensemble inclus dans X

    Une autre chose que je voudrais savoir est :92506
  • Poirot
    Poirot
    Oui c'est ça tu as bien compris. Pour ton image, bah c'est à nouveau un abus de langage, mais il y a fort à parier que l'on parle d'une partition de $X$ constituée d'éléments de $\mathfrak m$.
  • Neel
    Neel
    En tant que débutant ces abus de langages sont vraiment la source de toute sorte de confusion
    Anyway pour que je sois plus précis ce qui m'a causé un problème de compréhension c'est le début d'une démonstration du "principe de recollement mesurable"
    la voilà dans l'image ci dessous:

    il me paraît que si l'on dispose d'une partition quelconque de l'espace alors les Ai ne sont pas forcément des éléments de la tribu m
    par exemple: Soit X={a,b,c} et A={b,c}
    alors en notant par m la tribu engendrée par la partie A
    on aura: m = { le vide , A , {a} , X }
    en considérant la partition constituée des singletons
    càd : (Ai)i = { (a), (b), (c) }
    cette partition comporte des éléments [large]([/large][small]{b} et {c}[/small][large])[/large] qui ne sont pas dans la tribu m
    !!!!!!!!!!!!!!!!!92534
  • Poirot
    Poirot
    Bah tu as compris tout seul le problème. L'auteur de ce texte sous-entend que, quand il parle d'une partition de $(X, \mathfrak m)$, il s'agit d'une partition de l'ensemble $X$ avec des éléments de $\mathfrak m$.
  • Georges Abitbol
    Georges Abitbol
    Oui, je pense pareil. Là, de manière générale, si on est dans un cours de théorie de la mesure/théorie de l'intégration, on peut s'attendre à voir beaucoup d'abus de langage, comme par exemple, l'hypothèse implicite qu'une partition est composée de trucs mesurables, ou que les fonctions en jeu sont mesurables, etc. Là, dans ton image, dans la démonstration, il est dit clairement que $\forall i,\quad A_i \in \mathfrak{m}$. Cela devrait être écrit clairement dans l'énoncé du théorème... Dans le doute, il suffit souvent de lire la démonstration : si, à un moment de la démonstration, on utilise plus que ce qui est supposé explicitement dans l'énoncé du théorème, c'est qu'il y a eu un abus de langage :-D
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