Laplace du sinus

Bonjour
Pourquoi le domaine de la transformée de Laplace de la fonction sinus est $Re(p)>0$ ?

En effet, par les formules d'Euler, on trouve :
$L\{\sin(wt)\}(p):=\int_{0}^{+ \infty} \sin(wt)e^{-pt}dt=\frac{1}{2i} [\int_{0}^{+ \infty} e^{(-p+iw)t}dt - \int_{0}^{+ \infty} e^{(-p-iw)t}dt]$.

Si $Re(p)>0$, $\int_{0}^{+ \infty} e^{(-p+iw)t}dt=\frac{1}{p-iw}$ et $\int_{0}^{+ \infty} e^{(-p-iw)t}dt=\frac{1}{p+iw}$
Donc, $L\{\sin(wt)\}(p)=\frac{w}{p^2+w^2}.$

Si $Re(p)<0$, je bloque car pour moi la somme de deux intégrales divergentes n'est pas forcement divergente.
Merci.