Inégalité exponentielle de matrice

Mister Da
Mister Da
dans Algèbre
Bonjour,
je viens de voir une inégalité ici que je n'arrive pas à établir.

Pour tout $X$ et $Y$ de $M_n(\mathbb{C})$ on a $\|\mathrm{e}^{X+Y} - \mathrm{e}^{X}\| \leq \|Y\|\mathrm{e}^{\|X\|}\mathrm{e}^{\|Y\|},$ où $\|\cdot\|$ désigne une norme matricielle.

Je tourne en rond sans trouver de chemin. Voici le fruit de ma maigre réflexion. $\|\mathrm{e}^{X+Y} - \mathrm{e}^{X}\| \leq \|\mathrm{e}^{X+Y}\|+\|\mathrm{e}^{X}\| \leq \mathrm{e}^{\|X+Y\|}+\mathrm{e}^{\|X\|} \leq \mathrm{e}^{\|X\|+\|Y\|}+\mathrm{e}^{\|X\|} = \mathrm{e}^{\|X\|}(1+\mathrm{e}^{\|Y\|}).$

Bref, rien de bien croustillant. Pourriez-vous me guider ?
Je vous remercie par avance pour vos précieuses lumières.
Cordialement,
Mister Da

Réponses

  • Maxtimax
    Maxtimax
    $e^{X+Y}-e^X = e^{X+Y}-e^Xe^Y + e^X(1-e^Y)$

    Peut-être (je ne sais pas du tout !) que tu peux utiliser Baker-Campbell-Hausdorff pour majorer la norme du premier truc ? Puis utiliser la série qui définit exp pour majorer le deuxième, puis factoriser agréablement ?
  • aurelpage
    aurelpage
    Salut,

    Je chercherais plutôt du côté de $e^{X+Y}-e^X = \int_0^1 Ye^{X+tY}dt$.

    Amicalement,
    Aurel
  • Poirot
    Poirot
    La méthode d'Aurel semble la plus naturelle : la formule demandée ressemblant grandement à une inégalité des accroissements finis.
  • Mister Da
    Mister Da
    Bonjour,

    Merci à tous pour vos message et merci beaucoup aurelpage, je n'y aurais jamais pensé et je pense avoir le truc,
    $$\|\mathrm{e}^{X+Y} - \mathrm{e}^{X}\| =\left\|
    Y\int_0^1 \mathrm{e}^{X+tY}\mathrm{d}t\right\| \leq \|Y\|\int_0^1 \|\mathrm{e}^{X+tY}\|\mathrm{d}t \leq \|Y\|\mathrm{e}^{\|X\|}\int_0^1 \mathrm{e}^{t\|Y\|}\mathrm{d}t.
    $$
    On remarque que $\mathrm{e}^{t\|Y\|}\leq \mathrm{e}^{\|Y\|}$ pour tout $t\in[0;1]$ et c'est gagné.

    @Maxtimax, Baker-Campbell-Hausdorff a été mon premier réflexe mais je me suis enlisé en beauté.

    Cordialement,
    Mister Da
  • Maxtimax
    Maxtimax
    Effectivement, de toute façon je n'étais absolument pas sûr que ma méthode donne quoi que ce soit :-D
  • Mister Da
    Mister Da
    re bonjour,

    mais en fait pour avoir $\mathrm{e}^{X+Y} - \mathrm{e}^{X} = \int_0^1 Y\mathrm{e}^{X+tY}\mathrm{d}t$ doit-on supposer que $X$ et $Y$ commutent ?

    Si on pose $f(t) = \mathrm{e}^{X+tY} = I + (X+tY) + \frac{1}{2} (X+tY)^2 +\cdots$ la dérivation donne $f'(t) = 0 + Y + \frac{1}{2} [Y(X+tY) + (X+tY)Y] +\cdots$ qui sera a priori différent de $Y\mathrm{e}^{X+tY}$.

    Suis-je à côté de la plaque ?

    Cordialement,
    Mister Da
  • JLT
    JLT
    Je partirais de $||(X+Y)^n-X^n||=$ (norme d'une somme de termes) $\leqslant$ (somme des normes) $=(||X||+||Y||)^n-||X||^n$.
    On divise par $n!$ et on somme, ce qui donne $||e^{X+Y}-e^Y||\leqslant e^{||X||+||Y||}-e^{||X||}$ et c'est presque fini.
  • Mister Da
    Mister Da
    Bonjour,

    JLT, dans mon premier message j'ai la même inégalité que toi $\|\mathrm{e}^{X+Y} - \mathrm{e}^{X}\| \leq \mathrm{e}^{\|X\|+\|Y\|}+\mathrm{e}^{\|X\|} = \mathrm{e}^{\|X\|}(1+\mathrm{e}^{\|Y\|})$ mais comment conclus-tu avec ça ?
    Je n'y arrive pas.

    Cordialement,
    Mister Da
  • JLT
    JLT
    Non tu n'as pas la même inégalité. Tu as un $+$ et j'ai un $-$. Pour terminer on utilise le théorème des accroissements finis.
  • Mister Da
    Mister Da
    Bonjour,

    oupppssss mille excuses, j'ai du brouillard dans les yeux. Effectivement et c'est ce moins qui débloque tout !

    Il me reste à comprendre comment il arrive, car la en faisant naïvement la somme des normes je mets un plus :-S
    Merci pour ton aide.
    Cordialement,
    Mister Da
  • JLT
    JLT
    Essaye pour $n=2$ et $n=3$, tu verras.
  • Mister Da
    Mister Da
    Oh ! Ah ? Oui ! Pour $n=2$, $\|(X+Y)^2-X^2\| = \|XY+XY+Y^2\| \leq 2\|X\|\|Y\|+\|Y\|^2 = ( \|X\|-\|Y\|)^2- \|X\|^2$ effectivement. On simplifie d'abord, on fait l'inégalité et on rajoute en suite. C'est fou je ne me souvenais pas du tout de cette astuce.

    Donc, finalement, on montre que $\|(X+Y)^n-X^n\| \leq (\|(X\|+\|Y)\|)^n - \|X\|^n$, ce qui permet d'établir que $\|\mathrm{e}^{X+Y} - \mathrm{e}^{X}\| \leq \mathrm{e}^{\|X\|+\|Y\|}-\mathrm{e}^{\|X\|}$. Il ne reste plus qu'à reprendre l'astuce d'aurelpage en disant que $\mathrm{e}^{\|X\|+\|Y\|}-\mathrm{e}^{\|X\|} = \|Y\|\mathrm{e}^{\|X\|}\int_0^1 \mathrm{e}^{t\|Y\|}\mathrm{d}t\leq \|Y\|\mathrm{e}^{\|X\|}\mathrm{e}^{\|Y\|}$ car $\mathrm{e}^{t\|Y\|}\leq \mathrm{e}^{\|Y\|}$ pour tout $t$ de $[0,1]$.

    Je pense que cette fois-ci ça tient la route non ?
    Merci énormément pour votre aide, j'aurais séché longtemps sur cette inégalité sans vous.
    Cordialement,
    Mister Da
  • aurelpage
    aurelpage
    Bonjour
    En effet, ma proposition ne marche que si $X$ et $Y$ commutent. La solution de JLT marche bien sûr, mais je pense aussi qu'on peut réparer mon approche directe avec (si je n'ai pas fait d'erreur de calcul) $f(t) = e^{(1-t)X}e^{t(X+Y)}$, de sorte que $f'(t) = e^{(1-t)X}Ye^{t(X+Y)}$, ce qui donne $$

    e^{X+Y}-e^X = f(1) - f(0) = \int_0^1 f'(t)dt.

    $$ Amicalement,
    Aurel
  • Mister Da
    Mister Da
    Bonjour,

    super merci ! Je suis jaloux de ne pas y avoir pensé. Je n'ai pas vu d'erreur de calcul (ce qui ne veut rien dire étant donné mon niveau !).

    J'étais justement en train d'essayer d'adapter ta méthode directe au cas de deux matrices non commutatives mais pour ça, en posant $f(t) = \mathrm{e}^{X(t)}$, j'étais parti sur cette égalité (ici): $f'(t) = \int_0^1 \mathrm{e}^{\alpha X(t)}X'(t)\mathrm{e}^{(1-\alpha)X(t)}\mathrm{d}\alpha$ que j'essaye de démontrer en vain...

    Je sais que c'est couillon car pour démontrer un résultat, je me retrouve à vouloir en démontrer un autre plus compliqué (sans supposer que $X(t) = X + tY$) mais c'est plus pour la beauté du geste et pour apprendre.

    Cordialement,
    Mister Da
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