Problème avec les p-sous-groupes de Sylow

Bonjour Neel
Un $p$-sous-groupe de Sylow d'un groupe $G$ est, comme son nom l'indique, un sous-groupe de $G$, c'est-à-dire constitué d'éléments de $G$.
Dans le cas présent, $G=\Z/4\Z\times\Z/10\Z$ est donc formé de couples dont le premier élément est dans $\Z/4\Z$ et le second dans $\Z/10\Z$.
Si tu écris que le $2$-Sylow de $G$ est $\Z/4\times \Z/2\Z$, il y a un problème, car $\Z/2\Z$ n'est pas un sous-groupe du deuxième facteur direct $\Z/10\Z$.
En revanche $5\Z/10\Z=\{5x\mid x\in \Z/10\Z\}=\{\bar 0,\bar 5\}\subset \Z/10\Z$. Et donc $\Z/4\Z\times5\Z/10\Z$ est bien un sous-groupe de $G$, qui, vu son ordre ($=8$) est un $2$-sous-groupe de Sylow de $G$.
Même explication pour le $5$-Sylow de $G$.
Alain

Bonsoir Neel
Tu as peut-être vu, ou tu vas voir bientôt, le théorème de Lagrange qui indique que dans un groupe d'ordre $n$, l'ordre de chacun de ses éléments divise $n$ (et pas l'inverse).

Si donc tu as un groupe $G$ et un entier $k\neq0$ tels que pour tout élément $x\in G$ on a $x^k=e$ cela veut dire que l'ordre de chaque élément $x$ divise $k$.
Et donc que le $\mathrm{ppcm}$ des ordres des éléments de $G$ divise $k$.
C'est tout.
On ne sait même pas si $k$ divise $n$ (par exemple il se peut que $k=2n$).
Si on te dit en plus que $k$ est le plus petit entier non nul vérifiant cela (on l'appelle alors l'exposant de $G$), alors $k$ est le $\mathrm{ppcm}$ des ordres des éléments de $G$ et donc il divise $n$.
Rien ne permet de dire que c'est $n$, et le contre-exemple de $(\Z/2\Z)^3$ qui t'a été donné en témoigne.
Alain