oral X

le poulpe0 · July 2005

petit oral X de 2005
apres une question facile il y a une question de geometrie que je n'arrive pas à traiter rigoureusement

$f\;:\left\lbrace\begin{array}{l}
\mathbb{C}^{\star}\longrightarrow\mathbb{C}\\
z \longrightarrow \dfrac{1}{2}(z+\dfrac{1}{z})
\end{array}
\right.$
Il faut déterminer l'image par $f$ d'un cercle centré en zéro puis d'une droite passant par l'origine

corentin0 · July 2005

Pas de supposition à priori sur le rayon du cercle? (si le rayon est 1, évidemment c'est pas très dur, mais ça fait court comme question)
C'est quoi au juste le but de cette question? Une étude de courbe paramétrée ou il y a une figure à reconnaitre?
Si il y a quelque chose à reconnaitre, ça peut être pas mal de calculer en polaires.

hassan9 · July 2005

Bonjour ,

Pour le cercle centré en 0, je dirais a priori $[-1,1]$...

En fait on peut associer à cette application , et de façon biunivoque , l'application du plan dans lui même qui à tout point associe sa projection orthogonale sur .....

JeanPaulBrault · July 2005

Bonjour,

si m est le point image de z=r*(cos a +i sin a) et M le point image de

Z=f(z) on a de suite si Z=X+iY: X=(r+1/r)*cos a et Y=(r-1/r)*sin a.

Si r est constant, non égal à 1, le lieu de est l'ellipse d'équation

X²/(r+1/r)²+Y²/(r-1/r)² = 1 ( elles ont les mêmes foyers OF=2); si r=1

l'ellipse se réduit au segment F'F ( F(2,0) et F'(-2,0)

Si a est contant, le lieu de M est une hyperbole de foyers F et F';

l'orthogonalité des courbes cercle et droite se conserve entre ellipse et

hyperbole. Amicalement

corentin0 · July 2005

Heu, je crois que parler de polaires c'était débile. En fait je voulais dire écriture $re^{i\theta}$

Airy0 · July 2005

Corentin >

Je crois que c'est peut être interressant de voir ce qui se passe pour le cercle de rayon 1, puis de voir comment les homothéties de centre O et de rayon r > 0 se combinent avec f. Je dis cela sans garanti.

En gros, f (C(0,1)) =[-1,1] et h(O,r)ofoh(O,1/r) est de même "nature" que f et transforme C(O,r) en [-r,r].

Au fait, ça existe encore le Pox ???

oumpapah0 · July 2005

Bonsoir,

Il s'agit de la transformation de Joukovski
( elle intervient en ...technique des ailes d'avion)
taper "transformation de Joukovski" sur google pour informations diverses !

Oump.

JeanPaulBrault · July 2005

bonsoir,

je reviens sur ma solution avec mes regrets car le 1/2 m'échappé, sinon

je pense que ça va, les foyers étant les 2 points F(1,0) et F'(-1,0) et en

particulier l'image du cercle trigo est bien le segment F'F. Amicalement

Alain Debreil · July 2005

$$f : \left\lbrace \begin{array}{ccc}
\mathbb{C}^{\,\star}&\longrightarrow & \mathbb{C}\\
z & \longmapsto &\textstyle{ \frac{1}{2}\left( z+\frac{1}{z} \right) }
\end{array} \right.$$

moustache0 · July 2005

poil

le poulpe0 · July 2005

merci pour vos reponses
en fait apres quelques calculs j'ai fini par trouver (je suis pas imperial en geometrie)

la question d'avant c'etait
soient $z_1, z_2\in \mathbb{C}$ et $u$ tel que $u^2 = z_1z_2$ calculer
$|\dfrac{z_1+z_2}{2}+u|+|\dfrac{z_1+z_2}{2}-u|$

merci

Eric Chopin · July 2005

Comme le dit Oumpapah, il s'agit d'une transformation conforme,
grace a laquelle on peut calculer la repartition de la vitesse et de la
pression de l'air autour de certains profils d'aile en connaissant la
meme repartition autour d'un cylindre (eventuellement en rotation
pour dissymetriser l'ecoulement => cf effet Magnus).

A+

eric

alekk10 · July 2005

une autre petite question de géométrie tombée à l'X 2005:

soit $(acos(t), bsin(t))$ une ellipse, $a>b$.
Montrer alors que si les points
$P_1=(acos(t_1), bsin(t_1))$, $P_2=(acos(t_2), bsin(t_2))$,$P_3$, $P_4$
sont cocycliques alors $t_1+t_2+t_3+t_4=2k \pi$ où $k$ est entier.
J'avoue que je ne sais pas caractériser sans faire trop de calculs le
fait que 4 points soit cocycliques. Voici les différents critère qui me sont
venus à l'esprit, en prenant $0 \leq t_1 leq ... \leq t_4

JeanPaulBrault · July 2005

Bonsoir,

Cet exo a aussi été posé à l'X en 2003...en voici une solution rapide;

On peut donner un paramétrage rationnel de l'ellipse en posant

u=tan(t/2) cad x=a*(1-u²)/(1+u²) et y=b*2u/(1+u²)

Soit un cercle (C) x²+y²-2Ax-2By+C=0 et on écrit l'équation qui donne les

u des points d'intersection du cercle (C) et de l'ellipse (E), de degré 4.

Si on note Si les polynômes symétriques élémentaires des racines ui

(i=1..4), par relations entre coefficients et racines, on voit qu' une CNS

pour qu'il existe A,B, et C cad pour que 4 points de l'ellipse soient

cocycliques est que: S1=S3 cad: u1+u2+u3+u4=u1u2u3+....

Avec tan ti/2=ui , on calcule tan( (t1+t2+t3+t4)/2 )=[S1-S3]/ [1-S2+S4]=0

ssi les 4 points de (E) sont cocycliques cad t1+t2+t3+t4=2k*Pi.

Il y a des cas particuliers à voir car un point de (E) n'a pas de u...

Il y a peut-être plus simple...Amicalement

oral X

Réponses

Bonjour!

Catégories

In this Discussion