$\Z_p$ extension de $\Q$
dans Arithmétique
Bonjour, est-ce qu'il y a d'autres approches que celle-ci pour montrer que pour $p$ premier impair il y a une seule $\Z_p$ extension de $\Q$ ?
Mon idée c'est que $Gal(K/\Q) \cong \Z_p$ est sans torsion donc le noyau de $Gal(\Q(\zeta_\infty) / \Q) \to Gal(K/\Q)$ contient la complétion profinie de $Gal(\Q(\zeta_\infty) / \Q)_{tors} = \hat{\Z}^\times_{tors} = \prod_q (\Z_q^\times)_{tors}$ et donc $Gal(K/\Q)$ est un quotient de $$ \hat{\Z}^\times/\overline{\hat{\Z}^\times_{tors} } = \prod_q \Z_q^\times/(\Z_q^\times)_{tors}=(1+4\Z_2)\prod_{q\ne 2}(1+q\Z_q)$$
(il faut interpréter le groupe de droite comme étant canoniquement un quotient de $\hat{\Z}^\times$)
$Gal(K/\Q) \cong \Z_p$ comme groupes topologiques profinis nous dit que $K = \bigcup_n K_n$ où $Gal(K_n/\Q) \cong \Z/p^n\Z$,
Comme $Gal(K_n/\Q)$ est d'ordre $p^n$ on obtient que $K_n$ est fixé par $$(\hat{\Z}^\times/\overline{\hat{\Z}^\times_{tors} } )^{p^n}=(1+4\Z_2)^{p^n}\prod_{q\ne 2}(1+q\Z_q)^{p^n}= (1+p^{n+1}\Z_p) (1+4\Z_2) \prod_{q\ne 2,p}(1+q\Z_q)$$ et $K= \bigcup_n K_n$ est fixé par $$\bigcap_n (\hat{\Z}^\times/\overline{\hat{\Z}^\times_{tors} } )^{p^n}=(1+4\Z_2) \prod_{q\ne 2,p}(1+q\Z_q)=Gal(\Q(\zeta_\infty)/\Q(\zeta_{p^\infty})^{\langle \omega_{p-1}\rangle}) \qquad \implies K = \Q(\zeta_{p^\infty})^{\langle \omega_{p-1}\rangle}$$
Mon idée c'est que $Gal(K/\Q) \cong \Z_p$ est sans torsion donc le noyau de $Gal(\Q(\zeta_\infty) / \Q) \to Gal(K/\Q)$ contient la complétion profinie de $Gal(\Q(\zeta_\infty) / \Q)_{tors} = \hat{\Z}^\times_{tors} = \prod_q (\Z_q^\times)_{tors}$ et donc $Gal(K/\Q)$ est un quotient de $$ \hat{\Z}^\times/\overline{\hat{\Z}^\times_{tors} } = \prod_q \Z_q^\times/(\Z_q^\times)_{tors}=(1+4\Z_2)\prod_{q\ne 2}(1+q\Z_q)$$
(il faut interpréter le groupe de droite comme étant canoniquement un quotient de $\hat{\Z}^\times$)
$Gal(K/\Q) \cong \Z_p$ comme groupes topologiques profinis nous dit que $K = \bigcup_n K_n$ où $Gal(K_n/\Q) \cong \Z/p^n\Z$,
Comme $Gal(K_n/\Q)$ est d'ordre $p^n$ on obtient que $K_n$ est fixé par $$(\hat{\Z}^\times/\overline{\hat{\Z}^\times_{tors} } )^{p^n}=(1+4\Z_2)^{p^n}\prod_{q\ne 2}(1+q\Z_q)^{p^n}= (1+p^{n+1}\Z_p) (1+4\Z_2) \prod_{q\ne 2,p}(1+q\Z_q)$$ et $K= \bigcup_n K_n$ est fixé par $$\bigcap_n (\hat{\Z}^\times/\overline{\hat{\Z}^\times_{tors} } )^{p^n}=(1+4\Z_2) \prod_{q\ne 2,p}(1+q\Z_q)=Gal(\Q(\zeta_\infty)/\Q(\zeta_{p^\infty})^{\langle \omega_{p-1}\rangle}) \qquad \implies K = \Q(\zeta_{p^\infty})^{\langle \omega_{p-1}\rangle}$$
Réponses
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$\newcommand{\F}{\mathbb{F}} \newcommand{\Hom}{\mathrm{Hom}}$
Salut reuns,
En espérant ne pas me tromper, voici une preuve qui ne suppose pas Kronecker-Weber ni global ni local (en fait, qui en reprouve un morceau). Ca n'utilise que Hermite-Minkowski et des propriétés élémentaires des groupes de ramification (même pas Hasse-Arf).
Soit $G=G_\Q$, et pour tout premier $\ell$, soit $G_\ell$ un groupe de décomposition en $\ell$, $I_\ell$ son sous-groupe d'inertie et $P_\ell$ son sous-groupe d'inertie sauvage, $\sigma_\ell\in G_\ell$ un Frobénius, $\tau_\ell\in I_\ell$ un progénérateur de $I_\ell/P_\ell$, de sorte qu'on a $\sigma_\ell^{-1}\tau_\ell\sigma_\ell = \tau_\ell^\ell \bmod P_\ell$.
Soit $\phi_0 \colon G \to \Z_p$ le morphisme correspondant à la $\Z_p$-extension cyclotomique. Soit $M = \Hom(G,\Z_p)$; c'est un $\Z_p$-module et on veut montrer que $M = \Z_p\phi_0$.
Soit $\phi \in M$.
Soit $\ell\neq p$ premier. Comme $P_\ell$ est un groupe pro-$\ell$ et $\Z_p$ est pro-$p$, $\phi$ est trivial sur $P_\ell$. De plus, $\ell \phi(\tau_\ell) = \phi(\tau_\ell^\ell) = \phi(\sigma_\ell^{-1}\tau_\ell\sigma_\ell) = \phi(\tau_\ell)$, donc $(\ell-1)\phi(\tau_\ell) = 0$ donc $\phi(\tau_\ell)=0$ car $\Z_p$ est sans torsion. Par conséquent, $\phi$ est nulle sur $I_\ell$.
On a donc montré que $\phi$ n'est ramifié qu'en $p$.
En particulier, $M$ est un $\Z_p$-module de type fini car il n'y a qu'un nombre fini d'extensions de $\Q$ de degré $p$ non ramifiées hors de $p$. Il suffit donc de montrer que $M/pM$ est un $\F_p$-espace vectoriel de dimension $1$ pour conclure.
Considérons à nouveau $\phi\in M$, et prenons-le surjectif pour éviter les trivialités.
Comme il n'existe pas d'extension de $\Q$ ramifiée en aucun premier, on a $\phi(G_p) \subset \phi(I_p)$; comme $\tau_p\bmod P_p$ est de pro-ordre premier à $p$, on a $\phi(I_p) \subset \phi(P_p)$.
Rappelons deux résultats de de Serre Corps Locaux Chapitre 4 (Groupes de ramification) paragraphe 2 :
Exercice 3) c) : soit $K/\Q_p$ une extension finie Galoisienne d'indice de ramification $e$; alors pour tout $i>e/(p-1)$, le $i$-ème groupe de ramification de $K$ est trivial.
Proposition 11 : si $G$ est le groupe de Galois d'une extension finie de corps $p$-adiques, les $i\ge 1$ tels que $G_i\neq G_{i+1}$ sont congrus mod $p$.
Soit $K = \overline{\Q_p}^{\ker(\phi \bmod p)}$ et $K_0 = \overline{\Q_p}^{\ker(\phi_0 \bmod p)}$, qui sont des extensions cycliques de degré $p$ totalement ramifiées de $\Q_p$.
Supposons que $K\neq K_0$.
Soit $L = KK_0$, qui est totalement ramifiée, galoisienne sur $\Q_p$ de groupe de Galois $C_p^2$; notons $H$ ce groupe de Galois et $H_i$ ses groupes de ramification. D'après l'exercice, $H_{p+2}$ est trivial. De plus, d'après ce qu'on a démontré précédemment, $H = H_1$. Les $H_i/H_{i+1}$ sont d'ordre au plus $p$ car le corps résiduel de $L$ est $\F_p$, donc d'après la Proposition 11, les saut dans la suite des groupes de ramification sont $H_1\neq H_2$ et $H_{p+1}\neq H_{p+2}$. Soit $J$ un sous-groupe d'indice $p$ de $H$. On a $(H/J)_2 = 1$ d'après ce qui précède; par ailleurs $(H/J)_2 = (H/J)^{1+1/p}$ est l'image de $H^{1+1/p} = H_2$ dans $H/J$, donc $H_2\subset J$, et par égalité des indices dans $H$ on a $J = H_2$. On obtient que $H_2$ est l'unique sous-groupe d'indice $p$ de $H$, donc $H$ est cyclique, contradiction.
Donc $K = K_0$; par conséquent il existe $a\in\F_p^\times$ tel que $\phi\bmod p = a(\phi_0\bmod p)$.
On a donc bien montré que $M/pM$ est de dimension $1$, donc $M = \Z_p\phi_0$ et l'extension cyclotomique est la seule $\Z_p$-extension de $\Q$.
Amicalement,
Aurel -
Merci beaucoup, je n'avais jamais vu ce genre de chose.
Ton $\tau_\ell$ vient de l'automorphisme de $\bigcup_{\ell\ \nmid\ n}\Q_\ell(\zeta_n, \ell^{1/n})= \overline{\Q}_\ell^{P_\ell}$ qui envoie $\ell^{1/n}$ vers $\zeta_n \ell^{1/n}$ et agit trivialement sur $\zeta_n$ et $\sigma_\ell$ qui envoie $\zeta_n$ vers $\zeta_n^{\ell}$ et agit trivialement sur $\ell^{1/n}$.
$M$ est un $\Z_p$-module fininiment généré parce que sinon $M/pM$ serait de dimension infinie ce qui donnerait une infinité d'extensions $\overline{\Q}^{\ker(\phi \bmod p)}$ de degré $p$ (ramifiées uniquement en $p$ puisque $\ker(\phi)$ contient tous les $I_\ell$)
Il va me falloir du travail pour piger les deux propositions sur les $H_i$.
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Bonjour!
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