Th de réarrangement de Pechersky

Ca se demontre a la main.
Il n'y a pas de condition sur la vitesse de croissance.
On sait d'une part que $a_n \to 0$ et que $\sum_{k\leq n}|a_k|\to \infty$.
L'idée est de considérer les ensembles d'$a_n$ positifs et ceux d'$a_n$ négatifs. On les note $P$ et $N$. Ils sont clairement tous les deux infinis, $\sum_{a\in P} a = +\infty$ et $\sum_{a\in N} a = - \infty$
Maintenant, en se fixant un nombre $x$ dans $\R$, on commence par exemple en prenant $a_0$. Si $xa_0$ on pioche dans $P$.

Bonjour Eric,
De mémoire (très lointaine) on considère les 2 séries extraites formées des termes positifs et des négatifs qui vont diverger vers +infini pour la première et -infini pour la seconde (sinon il y aurait cv absolue de la série donnée d'où une contradiction). Si on vise une série modifiée qui converge ver un réel r :
Si -r>0 on lui ajoute les premiers négatifs jusqu'au moment où la somme partielle devienne <0 (donc on utilise au moins un terme négatif) ensuite on ajoute les termes suivants>0 jusqu'à ce que la somme partielle devienne >0(donc on utilise au moins un terme négatif) etc...en continuant on va bien épuiser les termes positifs et négatifs puisqu'à chaque étape on utilise au moins un terme négatif(postif) puis un positif(négatif)
Cette nouvelle série va converger vers 0 et ainsi la série modifiée cv vers r vu la semi-convergence de la série donnée.
Voilà les grandes lignes et idées.
Cordialement,
Guy

PSJe ne connaissais pas ce nom de Pechersky, je pensais que c'était un thm de Riemann

Ca ne me dit rien, désolé

Comme on me l'a mentionné ds un précédent post, l'idée de la démo est celle proposée par Guillaume. Elle est entièrement rédigée dans le Francinou-Gianella-Nicolas oraux X-ENS, analyse 1 chez Cassini.

Yann

Je connais un théorème de Steinitz, qui généralise ça à des suites à valeurs dans un espace de Banach (ou peut-être seulement à des evn de dimension finie?). La preuve est un peu plus compliquée, mais ça ne doit pas dater des années 70... Voir Gonnord-Tosel, "thèmes d'analyse pour l'agrégation : topologie et analyse fonctionnelle".

bonjour,
peut on avoir la référence pour la démo du théorème de Pechersky?
merci

bonjour,
merci pour la ref :-)