Série indicée par les entiers relatifs

Bonjour Playa.

Les deux existent.
Par exemple, la première est utilisée pour les séries de Fourier.

Pour faire bref, c'est à toi de le définir.

e.v.

Bonjour,

j'avais eu une question assez similaire qui pourrait t’intéresser ici.

La somme $\sum_{k=-\infty}^{+\infty}$ peut représenter $\lim_{n\to+\infty}\sum_{k=-n}^{+n}$, c'est-à-dire la limite des sommes partielles symétriques comme c'est effectivement souvent fait en série de Fourier (encore qu'il existe quelques résultats dans ce domaine qui utilisent l'autre façon de voir). J'ai toujours considéré la limite des sommes symétriques comme l'analogue discret de la valeur principale de Cauchy.

L'autre façon est donc que $\sum_{k=-\infty}^{+\infty}$ peut représenter $\lim_{n\to+\infty}\lim_{\ell\to\infty}\sum_{k=-n}^{+\ell}$.

Je pense comme Cyrano, la seconde écriture est pour moi la "vraie" qui permet de conserver la relation de Chasles (comme pour les intégrales). C'est-à-dire que pour $a\in\mathbb{R}$, $\sum_{k=-\infty}^{+\infty} = \sum_{k=-\infty}^{a}+ \sum_{k=a}^{+\infty}$ et on peut calculer chacune de ces quantités indépendamment alors qu'avec la première façon il faudrait calculer les deux sommes de à droite "en même temps".

J'espère ne pas avoir dit de bêtises.

Cordialement,
Mister Da