Fonctions homogènes et dérivation

Bonjour
Je dispose d'une fonction $f : \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}$ de classe $C^{1}$.
Je suppose que ses deux dérivées partielles sont $(\alpha-1)$-homogènes,
c'est-à-dire, vérifient :
\begin{align*}
\frac{\partial f}{\partial x}(tx,ty)&=t^{\alpha-1} \frac{\partial f}{\partial x}(x,y) \\[3pt]
\frac{\partial f}{\partial y}(tx,ty)&=t^{\alpha-1} \frac{\partial f}{\partial y}(x,y)

\end{align*} pour tout $t>0$ et tout $(x,y) \in \mathbb{R}^{2}$.
Peut-on alors dire que $f$ est $\alpha$-homogène ? Si oui, comment peut-on le démontrer ? Sinon, peut-on rajouter une hypothèse (ou plusieurs) pour que cela fonctionne ?
Merci par avance pour vos indications,
$\alpha$-Nico

Réponses

  • Il y a un obstacle évident : $f(x,y)=x^2+1$ pour tout $(x,y)$.
  • Est-ce que l'ajout de l'hypothèse $f(0,0)=0$ suffirait ?
  • Je commence à y croire. Fixons $(x,y)$. On peut écrire $f(x,y)=g(1)$ où $g(s)=f(sx,sy)$ pour tout $s$, puis, avec ton hypothèse, \[g(1)=\int_0^1g'(s)\mathrm{d}s.\]J'ai l'impression que ça permet de conclure.
  • Soit $v \in \R^2$ si $f(0) =0$ alors $f(v) = \int_0^1 D_v f( tv)dt$ où
    $D_vf(p) = \lim_{h \to 0} \frac{f(p+hv)-f(p)}{h} $

    et $f(sv) = \int_0^1 D_{sv} f(s tv)dt=s \int_0^1 D_v f(s tv)dt$

    Tu as supposé que $D_v f( s p) = s^{a-1} D_v f(p)$

    donc $f( s v) = s \int_0^1 s^{a-1}D_v f(tv) dt=s^a f(v) $
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