exo infaisable

le poulpe0
le poulpe0
dans Les-mathématiques
Salut à tous

Je vais bientôt passer les oraux pour les écoles d'ing et les 5/2 nous rapportent que des élèves de sup de Louis le Grand attendent pour obtenir les exos posés

Est-ce que vous connaissez un exo dont l'énoncé pourrait être posé à un bon élève de MP (pour l'X) et qui soit totalement infaisable sans des méthodes très complexes?

Si oui merci de me le donner avec une explication de sa difficulté

Réponses

  • cool
    cool
    Une petite farce alors ?

    Pas infaisable, mais hyper astucieux, y a l'exo d'olympiade : trouver tous les n tels que n² divise 2^n + 1.

    Cela dit, c'est méchant d'embêter les petits sups de LLG...

    Cool.
  • bisam0
    bisam0
    Sans indication, c'est quasi infaisable :
    1) Montrer que si $A$ est une matrice de trace nulle alors il existe 2 matrices $B$ et $C$ telles que $A=BC-CB$.


    De même, l'exo suivant sans préciser de contexte peut laisser pantois :
    2) Montrer que si $(a_1,...,a_n)$ est une famille de vecteurs de $\R^n$ alors $\det(a_1,...,a_n)\leq\|a_1\|...\|a_n\|$. Cas d'égalité ?

    Enfin en dernier recours :
    3) Montrer que $SO_3(\R)$ est un groupe simple.
  • alekk4
    alekk4
    "Je vais bientôt passer les oraux pour les écoles d'ing et les 5/2 nous rapportent que des élèves de sup de Louis le Grand attendent pour obtenir les exos posés " .. qu'est ce que c'est que ces ragots infondés ?? je vois qu'il y a toujours une compétition malsaine entre les différentes prépas.
  • antonin3
    antonin3
    je cherche une indication pour l'exo 1 (les matrices de trace nulle). Si l'on note $T$ l'espace vectoriel des matrices de trace nulle (qui est de dimension $n^2 - 1$), mon idée est de créer une application injective d'une partie de $\mathcal{M}_n(\mathbb{K}) \times \mathcal{M}_n(\mathbb{K})$ (de dimension pas trop petite) dans $T$, puis d'utiliser un argument dimensionnel pour conclure. Mais j'ai l'impression d'être sur la mauvaise voie.
    Si quelqu'un pouvait me passait juste une petite indication,
    merci
  • antonin3
    antonin3
    Désolé pour la faute de grammaire : "si quelqu'un pouvait me passER"
  • alekk4
    alekk4
    et si tu impose à $C$ d'être une matrice diagonale ...
  • alekk4
    alekk4
    voilà une idée possible. Tu peux supposer que ta matrice de trace nulle ne comporte que des $0$ sur la diagonale(classique). Ensuite tu supposes que $C=diag(1,2,..,n)$. Alors le calcul de $B$ est immédiat.
  • le poulpe0
    le poulpe0
    j'aime bien celui sur les entiers
    (l'autre je connais)
    vous avez la solution?

    sinon j'en ai un mais il est tres louche

    trouver tous les couples de matrices de $M_n(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})$
    ($n$ premier ou pas selon si l'on aime les corps)
    tels que

    $AB - BA=I_n$

    (dans $\mathbb{R}$ c'est débile en prenant la trace mais ici cet argument marche pas alors?)
  • le poulpe0
    le poulpe0

    j'aime bien celui sur les entiers
    (l'autre je connais)
    vous avez la solution?

    sinon j'en ai un mais il est tres louche

    trouver tous les couples de matrices de $M_n(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})$
    ($n$ premier ou pas selon si l'on aime les corps)
    tels que

    $AB - BA=I_n$

    (dans $\mathbb{R}$ c'est débile en prenant la trace mais ici cet argument marche pas alors?)
  • Zantac
    Zantac
    "Je vais bientôt passer les oraux pour les écoles d'ing et les 5/2 nous rapportent que des élèves de sup de Louis le Grand attendent pour obtenir les exos posés "

    D'une part, c'est sans doute très vrai, d'autre part je vois pas où est le mal, et enfin pour finir sache que les exos d'oraux de l'X n'ont rien de "secret" et que dans ma prépa provinciale on avait aussi l'intégralité des exos posés aux oraux par nos prédecesseurs, certes il y en avait un peu moins de l'X...
  • Eric
    Eric
    L'exo de Zantac est effectivement difficile mais pourtant un poil trop facile :-)

    Donc pour le rendre vraiment infaisable, on peut ajouter des conditions sur les matrices $B$ et $C$.

    Par exemple, montrer qu'il existe $B$ et $C$, $B$ hermitienne et $C$ telle que $\mathrm{tr}\,C=0$, vérifiant $A=BC-CB$.

    Ou bien, Soit $\lambda_1,\dotsc,\lambda_n$, $\mu_1,\dotsc,\mu_n$ des complexes tels que $\lambda_i\neq\lambda_j$ pour tout $i\neq j$. Montrer qu'il existe $B$ et $C$ de valeurs propres respectives $\lambda_1,\dotsc,\lambda_n$ et $\mu_1,\dotsc,\mu_n$, telles que $A=BC-CB$.
  • Madec0
    Madec0
    bonsoir,


    Pour l'exo 2 de Bisam , ne peut-on procéder ainsi :

    si les vecteurs $a_i$ sont liés alors $det(a_i)=0$ et l'inégalité est triviale .
    sinon on orthogonalise la base $a_i$ par le procédé de Schmidt on obtient une base orthogonale $b_i$ et on constate que
    $det(a_i)=det(b_i)$

    Ensuite on normalise $b_i$ pour obtenir la base orthonormée $b'_i$ dont le déterminant vaut 1

    d'ou $det(a_i)=\prod_ {i=1}^n \mid b_i \mid$

    Ensuite on a $\mid b_i\mid\leq\mid a_i\mid$

    d'où l'inégalité recherchée .
  • Eric
    Eric
    Pas de réponse proposée ...
    Il semble qu'avec les conditions supplémentaires proposées, l'exo soit devenu vraiment infaisable ... (pour ceux qui chercheraient, il y a bien une solution !).
  • TheVelho
    TheVelho
    J'avais entendu des potes parler de ça :


    Trouver le déterminant de la matrice n*n donc chaque coefficient est le PGCD(i,j) de la i ème ligne et de la j ème colonne du coefficient.
  • bisam0
    bisam0
    Pour Madec : C'est bien ça ! Et on a égalité ssi la famille est orthogonale ou l'un des vecteurs est nul.
  • babouin0
    babouin0
    The Velho : l'exo proposé est bien connu de tous les taupins possédant un method'x algèbre ... ceci dit, l'auteur pose la solution en disant qu'il faut l'apprendre par coeur gnagnignagna (enfin pour ceux qui connaissent le style de l'auteur, son humour discutable et ses remarques douteuses) alors que la fonction phi d'euler apparait naturellement quand on fait une décomposition LU de la matrice me semble t il, ou quelque chose de ce gout là (à vérifier avec Maple).
    Sinon je suis aussi intéressé par l'exo d'olympiade, en passant.
  • cool
    cool
    Désolé pour l'attente, mais j'ai mis un temps fou à le retrouver. Il me faudrait un moteur de recherche pour mon cerveau.

    Par « pas infaisable », je voulais dire qu'il n'y a pas besoin d'outils évolués pour le faire, parce qu'en vrai...

    La réponse est donc {3}, et voilà une démo :

    <http://www.kalva.demon.co.uk/imo/isoln/isoln903.html&gt;

    Amusez-vous bien

    --
    Cool
  • cool
    cool
    Bon, alors j'ai évidemment oublié de cocher cette satanée case... Si une bonne âme modératrice pouvait y remédier...

    Merci d'avance

    Cool.
  • TheVelho
    TheVelho
    Héhé cool, la manière dont il est posé sur le site est moins vicieuse que sur le post plus haut...
  • Gauss1
    Gauss1
    Bonjour

    Dis_moi, Zantac, tu étais dans quelle prépas (si ce n'est pas trop indiscret).

    Amicalement
  • cool
    cool
    TheVelho : je ne le trouve pas spécialement moins vicieux comme ça. De toute façon, c'est sous la forme que j'ai indiquée qu'il était posé dans mes feuilles de sup (noté ***, tout de même, le seul exo*** de toute l'année...)

    De là à penser que mon prof de sup était vicieux...

    Cool
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