petit exo de mesure

le poulpe0
le poulpe0
dans Les-mathématiques
Voila un exo tire du RUDIN que je n'arrive pas a resoudre sans renforcer les
hypotheses
Soit $f\in \mathcal{L}^1(\mu)$ sur un espace $X$
il faut montrer que
$\forall \varepsilon > 0, \exists\delta>0$ tel que
$\forall E\subset X, \mu(E)

Réponses

  • Josselin0
    Josselin0
    Ca à l'air de se faire en utilisant le fait que le résultat est vrai sur les fonctions simples et par le fait que que tt fonction mesurable est limite de fonctions simples, par le théorème de convergence dominé on doit pouvoir conclure.

    Josselin
  • le poulpe0
    le poulpe0
    ok merci je vais essayer de mettre ca precisement en forme
  • Probaloser
    Probaloser
    Bref on peut utiliser la densité des fonctions simples dans $L^1$ (pour la norme $L^1^$).

    On peut aussi se contenter de se ramener à des fonctions bornées (genre $f_M=\max(\min(f,M),-M)$).
  • corentin0
    corentin0
    Il y a aussi une méthode assez élégante je trouve, $\displaystyle \int_{|f(x)| \geq k} |f(x)|\longrightarrow 0$ pour k tend vers l'infini par convergence dominée.
    On prend k etc pour que ça marche avec epsilon fixé, soit $\delta=\mu (x;|f(x)| \geq k)$ (on voit venir non?).
    Alors si $\mu (E) \leq \delta$, $\int_E |f| \leq \int_{\|f| \geq k} |f| \leq \epsilon$.
    Cette inégalité m'énerve un peu parce que je ne vois pas comment la démontrer rigoureusement. Pour être tout à fait rigoureux, on peut dire
    $\int_E |f|=\int_{E \cap |f| \geq k} |f|+\int_{E \cap |f| \leq k }|f| \leq \int_{|f| \geq k} |f|+\int_{E \cap |f| \leq k }|f| \leq \epsilon +\delta k$.
    Quitte à diminuer encore delta, on est parfaitement rigoureux.
  • Probaloser
    Probaloser
    Corentin : et si $\delta=0$... ?
  • Probaloser
    Probaloser
    ... si $\delta=0$, alors $f$ est essentiellement borné et donc OK, rigolo.
  • Probaloser
    Probaloser
    Sinon pour le truc qui t'énèrve (je pose $g=|f|$ pour alléger) :
    $$
    \int_E g = \int_{E \cap \{g\ge k\}} g + \int_{E \cap \{g
  • corentin0
    corentin0
    Eh eh, c'est marrant au début j'ai pas compris la 2° inégalité et ensuite je me suis dit "et si on utilisait les hypothèses sur E?"... En tout cas c'est bien vu.
  • inconnu
    inconnu
    A mon avis il suffit de dire que Linfini est dense dans L1, et de prendre une fonction g de linfini proche de f a epsilon pres puis de le montrer pour g ce qui est evident, me semble-t-il
  • corentin0
    corentin0
    Oui, évidemment ça marche (encore que $L^{\infty} \not\subset L^1$), mais j'aime mieux l'autre méthode.
  • inconnu
    inconnu
    Disons alors que Linfini inter L1 est dense dans L1
  • le poulpe0
    le poulpe0
    merci à tous pour les solutions (j'avais vraiment du mal)
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