Analyse fonctionnelle, géométrie euclidienne

Anas Mourahib
Anas Mourahib
dans Analyse
Bonsoir
J'ai deux problèmes dans mon cours d'analyse fonctionnelle, le premier est que je n'arrive pas à bien voir ce qu'on fait en analyse fonctionnelle, en intégration on calcule des intégrales, au cours d'équations différentielles on résout des équations différentielles. En analyse fonctionnelle, on fait quoi exactement ?

J'ai cherché sur internet j'ai trouvé que le but est d'étudier des espaces de fonctions. Or que la majorité des cours que je trouve parlent des espaces vectoriels non nécessairement des fonctions. Des espaces de Banach, des espaces de Hilbert ne sont pas nécessairement des espaces de fonctions.

Ma deuxième question (question pas problème) est que je n'arrive pas à comprendre ce que signifie la phrase suivante ( en photo)86946

Réponses

  • Phare
    Phare
    Bonsoir,

    Pour comprendre l'utilité de l'analyse fonctionelle il suffit de lire n'importe quel cours (théorique) d'EDP.
    Pour ton deuxième paragraphe, outre le fait qu'en pratique ce sont les seuls espaces considérés, on a le théorème suivant :
    Banach-mazur.
  • reuns
    reuns
    Les normes et topologies $L^1,L^2,\ell^p, C^0,C^k,C^\infty, H^p$ et leurs duaux sont partout dès qu'on parle d'intégrales, de séries, de séries et de transformée de Fourier, de Laplace, d'équa diff et la régularité de leur solution, de série entière, d'intégrales de contour sur des fonctions holomorphes... Tout ça ce sont des opérateurs linéaires sur des espaces de Banach.

    La base de l'analyse c'est que $\int_a^b f(x)g(x)dx$ est compliqué, tu ne sais même pas si ça converge, alors tu prends $(f_n)$ tel que $\|f_n-f\|_{L^p} \to 0$ tel que $\int_a^b f_n(x)g(x)dx$ soit beaucoup plus simple, et toute la question est si l'opérateur $f_n \mapsto \int_a^b f_n(x)g(x)dx$ est continu pour la norme $L^p$, dans ce cas $\int_a^b f(x)g(x)dx=\lim_{n \to \infty} \int_a^b f_n(x)g(x)dx$.

    Souvent $g$ est une fonction dépendant d'un paramètre $y$ et tu peux aussi considérer la fonction $y \mapsto \int_a^b f(x)g_y(x)dx$ bien définie dans tel espace de Banach.
  • Anas Mourahib
    Anas Mourahib
    Merci pour votre réponse phare et reuns.

    Je commence maintenant à saisir l'utilité de l'analyse fonctionnelle. Cependant j'ai toujours la même question. Si l'analyse fonctionnelle étudie des espaces de fonctions, Pourquoi les trois premiers chapitres de mon cours d'analyse fonctionnelle sont à propos de l'équivalence des normes, les espaces de Banach, le Théorème de Baire, sans faire référence à un espace dont les éléments sont des fonctions?
  • senpai
    senpai
    Salut, de très nombreux espaces de fonctions usuels sont des espaces de Banach, les espaces $L^p$, les $l^p$, les espaces de fonctions à valeurs dans un espace métrique complet etc... Et plein d'autres. D'où l'étude générale des espaces de Banach pour avoir des propriétés générales sur ces espaces.
  • Poirot
    Poirot
    Le fait est que l'analyse fonctionnelle se déroule classiquement dans des espaces vectoriels de dimension infinie puisque les espaces usuels de fonctions sont de dimension infinie. Le sujet étant trop large, on rajoute de la rigidité avec de la topologie normique. Malheureusement, il manque de la complétude pour avoir une belle théorie, notamment possédant des résultats d'existence, c'est pour cela que l'on commence par étudier les espaces de Banach. En pratique, les espaces de fonctions usuels sont des espaces de Banach (mais il y a des notions plus générales, où l'on abandonne la notion de norme pour des familles de semi-normes par exemple).

    Le lien avec la géométrie euclidienne apparaît quand on se place dans le cadre des sacro-saints espaces de Hilbert, on retrouve alors toute une intuition géométrique avec des notions de produit scalaire, orthogonalité, projections, etc. À noter que la dualité dans les espaces de Banach permet de retrouver en partie ces intuitions géométriques, mais le cadre n'est pas aussi gentil que pour les Hilbert.
  • BobbyJoe
    BobbyJoe
    Il me semble également que l'analyse fonctionnelle s'intéresse également à l'étude des opérateurs (d'ailleurs de nombreux résultats peuvent être reformulés dans ce langage via le travail séminal de Grothendieck) et fait donc référence, à termes, à la fameuse "Géométrie non commutative".
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