Clarification définitions de limite
Bonjour
J'aimerais avoir une clarification sur deux définitions de limite.
On considère une fonction $f$ définie sur $E$ à valeurs dans $\mathbb{R}$
Def 1 : $\forall \epsilon > 0,\ \exists \eta > 0,\ \forall x \in E,\ |x-a|<\eta \Rightarrow | f(x)-l |<\epsilon$
Def 2 : $\forall \epsilon > 0,\ \exists \eta > 0,\ \forall x \in E,\ (x \neq a \text{ et } |x-a|<\eta) \Rightarrow | f(x)-l |<\epsilon$
Prenons un exemple la fonction $f$ telle que $f(x)=0$ si $x \neq 0$ et $f(0)=1$.
Avec la définition 1, $f$ aurait donc deux "limites" possibles en 0 : 1 et 0 donc elle n'admet pas de limite.
Par contre avec la définition 2, elle aurait pour limite 0 en 0.
Est-ce bien ça, svp ? Je m'y remets et j'ai un peu de mal.
J'aimerais avoir une clarification sur deux définitions de limite.
On considère une fonction $f$ définie sur $E$ à valeurs dans $\mathbb{R}$
Def 1 : $\forall \epsilon > 0,\ \exists \eta > 0,\ \forall x \in E,\ |x-a|<\eta \Rightarrow | f(x)-l |<\epsilon$
Def 2 : $\forall \epsilon > 0,\ \exists \eta > 0,\ \forall x \in E,\ (x \neq a \text{ et } |x-a|<\eta) \Rightarrow | f(x)-l |<\epsilon$
Prenons un exemple la fonction $f$ telle que $f(x)=0$ si $x \neq 0$ et $f(0)=1$.
Avec la définition 1, $f$ aurait donc deux "limites" possibles en 0 : 1 et 0 donc elle n'admet pas de limite.
Par contre avec la définition 2, elle aurait pour limite 0 en 0.
Est-ce bien ça, svp ? Je m'y remets et j'ai un peu de mal.
Réponses
-
Bonjour
Avec la définition 1 la fonction f n'a pas de limite en zéro. Je ne comprends pas ta remarque sur les 2 limites possibles.
Avec la définition 2 la limite de f en 0 vaut 0 effectivement
La def 2 est l'ancienne définition de la limite, dite "épointée", qui était enseignée jusqu'aux années 80 il me semble -
Bonjour.
Il manque dans les deux définitions $\exists \ell$ au début, pour avoir une définition de "f a une limite en a".
La première définition est celle de l'enseignement supérieur, compatible avec la notion de continuité de la topologie, et qui impose que $f(x)=\ell$. Donc pour la fonction proposée, pas de limite en 0. La seule limite possible devrait être 1, mais en prenant $\varepsilon<1$, on voit que ça ne marche pas.
La deuxième notion (limite épointée) et très utilisée à petit niveau pour le cas où a correspond à un "trou" dans le domaine de définition, avant éventuellement de prolonger f par continuité. On peut s'en passer en rajoutant que x est dans le domaine de définition dans la définition 1.
Cordialement. -
Bonjour,
Ça me rappelle le moi il y a quatre années. http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?4,1198071,1198147Lorsque notre cher Nico, le professeur, intervient dans une question d'analyse, c'est une véritable joie pour les lecteurs.. -
Merci à tous.
C'est un peu plus clair. -
Sur la page wikipédia Limite (mathématique)
je remarque que les limites à droite et à gauche sont définies "épointées":
Je cite:
On dit que f admet une limite à droite (finie) au point p, s'il existe un réel L vérifiant
Pour tout réel $\epsilon> 0$ il existe un réel $\delta > 0$ tel que pour tout x dans U tel que $0 < x – p < \delta$, on ait $|f(x) – L| < \epsilon$
N'est ce pas incohérent avec la définition de la limite "standard" du même document ?
Pour tout réel $\epsilon > 0$ il existe un réel $\delta > 0$ tel que pour tout x dans U tel que $|x – p| < \delta$, on ait $|f(x) – L| < \epsilon$
Avec ces définitions une fonction peut avoir en un point des limites à droite et à gauche égales et ne pas avoir de limite en ce point. -
Joel a écrit:Avec ces définitions une fonction peut avoir en un point des limites à droite et à gauche égales et ne pas avoir de limite en ce point.
Exact.Joel a écrit:N'est ce pas incohérent avec la définition de la limite "standard" du même document ?
Non. Il y a là quatre définitions différentes des limites, suivant quatre filtres différents.
e.v.Personne n'a raison contre un enfant qui pleure. -
Pour paraphraser le magnifique document de Daniel Perrin qui a été linké par Math Coss, ces distinctions sont sans importance dans le cas où la fonction est continue au point où on cherche la limite ou si elle n'est pas définie en ce point (ce qui est le cas par exemple quand on fait la limite du taux d'accroissement quand on calcule une dérivée). Donc pas de panique.
-
Remarque accessoire : il y a une coquille dans la définition 1 du message initial de ce fil.
Il manque le $\eta$ qui a été remplacé par $a$.
Bien à vous tous.
[Correction faite. AD] -
Si on tient vraiment à être général, la définition de limite via les filtres (cf wiki) et bases de filtres permet de tout faire.
Quelques remarques:
(I) Soit $(X,\tau)$ un espace topologique, $P$ une partie de $X$, $a$ un élément de l'adhérence de $P$ dans $(X,\tau)$.
Soit $(Y,\sigma)$ un second espace topologique et $f:P\to Y$ une application.
Soit $\ell \in Y$.
On dit que "$f(x)$ tend vers $\ell$ quand $x$ tend vers $a$" (ce qu'on note souvent $f(x) \underset {x\to a} {\longrightarrow}\ell$) lorsque pour tout voisinage $W$ de $\ell$ dans $(Y,\sigma)$, il existe un voisinage $V$ de $a$ dans $(X,\tau)$ tel que $f(V \cap P) \subseteq W$.
On dit aussi que $\ell$ est une limite de $f$ en $a$.
Lorsque $a$ n'appartient pas à $P$, on parle de limite épointée.
(II) Les limites épointées sont peu usitées à ma connaissance. Cela dit on peut montrer que toute limite est un cas particulier de limite épointée.
0°) (via le schéma de compréhension): soit $X$ un ensemble quelconque. Alors $H:=\{y\in X \mid y \notin y\}$ n'appartient pas à $X$ (c'est le "paradoxe de Russell"! si c'était le cas on aurait $H\in H$ si et seulement si $H \notin H$...).
Ainsi, l'existence d'un objet n'appartenant pas à un ensemble donné ne pose jamais de problème théorique.
1°)Soit $E$ un ensemble et $\mathcal F$ un ensmble de parties de $E$. Les énoncés suivants sont équivalents.
(i) Il existe un espace topologique $(D,\tau)$ et un $x\in D$ tels que $E\subseteq D$, $x$ est adhérent à $E$ (pour $\tau$) et $\mathcal F$ est l'ensemble des parties de $E$ de la forme $V\cap E$ où $V$ est un voisinage de $x$ pour $\tau$.
(ii) Il existe un espace topologique $(D,\tau)$ et un $x\in D$ tels que $E\subseteq D$, $x$ est adhérent à $E$ (pour $\tau$), $x$ n'appartient pas à $E$ et $\mathcal F$ est l'ensemble des parties de $E$ de la forme $V\cap E$ où $V$ est un voisinage de $x$ pour $\tau$.
(iii) $\mathcal F$ est un filtre.
Preuve: (ii) => (i) et (i) => (iii) sont évidents.
Montrons (ii) => (iii): considérons un ensemble $x$ n'appartenant pas à $E$. Posons $D:= E \cup \{x\}$. Soit $\tau$ la réunion de l'ensemble des parties de $E$, et de l'ensemble des parties de $D$ de la forme $A\cup \{x\}$ où $A$ appartient à $\mathcal F$. Alors $(D,\tau)$ convient (la vérification est mécanique). CQFD.
En gardant les notations de cette preuve, on voit tout de suite que si $(Y,\sigma)$ est un espace topologique, $\ell \in Y$ et $f:E\to Y$ est une application, $f$ tend vers $\ell$ suivant le filtre $\mathcal F$ si et seulement si $\ell$ est une limite (épointée) de $f$ en $x$ (dans $(D,\tau)$).Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$.
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Bonjour!
Catégories
- 165.6K Toutes les catégories
- 65 Collège/Lycée
- 22.2K Algèbre
- 37.7K Analyse
- 6.3K Arithmétique
- 61 Catégories et structures
- 1.1K Combinatoire et Graphes
- 13 Sciences des données
- 5.1K Concours et Examens
- 26 CultureMath
- 51 Enseignement à distance
- 2.9K Fondements et Logique
- 10.8K Géométrie
- 84 Géométrie différentielle
- 1.1K Histoire des Mathématiques
- 79 Informatique théorique
- 3.9K LaTeX
- 39K Les-mathématiques
- 3.5K Livres, articles, revues, (...)
- 2.7K Logiciels pour les mathématiques
- 29 Mathématiques et finance
- 342 Mathématiques et Physique
- 5K Mathématiques et Société
- 3.4K Pédagogie, enseignement, orientation
- 10.1K Probabilités, théorie de la mesure
- 805 Shtam
- 4.2K Statistiques
- 3.8K Topologie
- 1.4K Vie du Forum et de ses membres