Déterminant et surface, volume ...

Bonjour
Comment justifier que la valeur absolue du déterminant de 2 vecteurs dans une base orthonormée correspond à l'aire du parallélogramme qui s'appuie sur les 2 vecteurs, que la va valeur absolue du déterminant de 3 vecteurs correspond au volume du parallélépipède correspondant et ainsi de suite en dimension n ?

Mon idée est la suivante.
En dimension 2, on considère l'application qui à 2 vecteurs associe l'aire signée du parallélogramme correspondant. Aire(V1,V2) positive si (V1,V2) de même "orientation" que la base (i, j), négative sinon.
Puis on montre que cette application est une forme bilinéaire alternée. Or on sait que le déterminant est l'unique forme n-linéaire alternée qui vaut 1 sur la base. Donc l'aire est donnée par le déterminant.
C'est faisable en dim 2, plus délicat en dimension supérieure.

Qu'en pensez-vous ?

Réponses

  • Je ne sais pas si je sais répondre.
    Cependant, quelle définition de l'aire choisis-tu avant de commencer ?
  • Je n'ai pas essayé ce que tu proposes mais il me semble qu'en calculant l'aire d'un parallélogramme en calculant l'aire d'un rectangle à laquelle on retranche l'aire de deux triangles ( je ne sais pas si c'est très clair ) on voit apparaître naturellement le déterminant. Ça doit être faisable en dimension supérieure. ( Au moins 3)
  • @Dom
    Quelle définition de l'aire ?
    Franchement je n'en sais rien.
  • C'est une propriété de la mesure de Lebesgue : en dimension $n$, si $A$ est une application linéaire et $X$ est un ensemble mesurable, $\lambda (AX) = |\det (A) | \lambda (X)$, et la preuve est essentiellement celle que tu proposes. Maintenant si tu as une famille de vecteurs, regarde sa matrice dans la base canonique $A$, et applique ça à $X=$ le cube tu devrais avoir ce que tu veux.
  • @Schlurte
    Exact en dimension 2, le schéma correspondant se trouve sur la Figure 3 de la page wiki consacrée aux déterminants : Déterminant_(mathématiques)

    Mais comme le déterminant donne la surface, le volume, l'hyper-volume en toute dimension il doit y avoir une explication générale.
  • Je corrige ce que j'ai dit : la preuve de ce que j'ai dit étudie les morphismes de groupe $GL(n,\R) \to \R$
  • Peut-être par récurrence sur le nombre de dimensinon ? On remarque que $det(v_1,.....v_{n+1})=v_{1,n+1}\Delta_1+.....(-1)^{n}v_{n+1,n+1}\Delta_{n+1}$ avec $\forall i\in\left\{1,n+1\right\}, \Delta_i=$l'aire du parallélograme de base $(v_1,...v_{i-1},v_{i+1},...v_n)$ grâce a l'hypothèse de récurrence. Ainsi, chaque coefficient de la somme est le volume d'un "hyperprisme". Je suis incapable de montrer que ca mène au résultat voulu par contre...
  • [small]Ok, en relisant, je vois que tu veux faire coïncider l'aire du rectangle dont une définition est "longueur fois largeur".[/small]
  • Ce que j'en comprends, c'est que notre parallélogramme (parallélotope en dimension supérieure) peut être amené à un rectangle (pavé) par une suite de transvections.

    Le résultat s'ensuit, car les transvections préservent l'aire (le volume ou la mesure) et le déterminant, et que la valeur absolue du déterminant donne le bon résultat pour les rectangles (pavés).

    L'existence d'une telle suite de transvections découle du caractère générateur de celles-ci pour le groupe spécial linéaire.
  • Un point de vue : le déterminant de Gram de $n$ vecteurs dans un espace euclidien de dimension $n$ est le carré du déterminant de ces vecteurs dans n'importe quelle b.o.n. de l'espace.
    Appliquons maintenant l'orthogonalisation de Gram-Schmidt à la famille de vecteurs. L'algorithme se décompose en étapes qui consistent chacune à ajouter à un vecteur un multiple d'un vecteur qui précède dans la liste. Ceci ne change pas le déterminant, ne change pas le déterminant de Gram, et ne change pas le volume de l'hyperparallelépipède qu'ils engendrent.
    À la fin, on a un parallélépipède rectangle, et le déterminant de Gram est devenu diagonal avec, sur la diagonale, les carrés des longueurs des côtés.
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