Différentiabilités

L'inégalité des accroissements finis, qui s'applique aux fonctions Gateaux-différentiables, montre que $C^1$ au sens de Gateaux est équivalent à $C^1$ au sens de Fréchet. Du coup, ta Gateaux dérivée étant continue, ta fonction sera $C^1$ en les deux sens.

Ah oui j'ai lu ton énoncé trop vite:-S [et en plus dans le cas de $\R^n$ il y a l'énoncé classique avec les DP sans passer par Gateaux], si j'ai le temps demain je regarde.

$\nabla(f)$ existe au voisinage de $x_0$ et est continu en $x_0$ puisque même Fréchet différentiable. Ainsi étant donné $\varepsilon>0$, il existe $\alpha>0$ tel que $\| z\| <\alpha$ implique $\| \nabla f(x_0+z) -\nabla f(x_0)\| <\varepsilon$.

Prenons maintenant $h$ de norme inférieure à $\alpha$. L'application de l'inégalité des accroissements finis à $g: z\mapsto f(x_0+z)-f(x_0)-\nabla f(x_0).z$ entre $0$ et $h$ donne :

$$\| f(x_0+h)-f(x_0)-\nabla f(x_0).h \| \leq \sup_{c\in ]0;1[} \|\nabla f(x_0+ch)-\nabla f(x_0)\|. \|h\| \leq \varepsilon \|h\|$$

d'où la Fréchet différentiabilité en $x_0$.

Je me plante ?