Un peu de rugby

Bonsoir à tous,
Je partage ici un petit problème tiré d'un oral de l'ENS de Lyon. Personnellement je l'ai trouvé original, et j'espère qu'il vous plaira autant qu'à moi!
Énoncé:
1) Quels sont les scores possibles au rugby (pour une équipe, le problème étant bien sûr symétrique)?
2) Pour quel(s) score(s) peut-on connaître précisément le nombre d'essais?
3) Donner un équivalent asymptotique du nombre de combinaisons possibles pour un même score.
Si vous ne trouvez pas, je donnerai un corrigé ce weekend.
Amusez-vous bien!

Réponses

  • Si vous avez des questions sur l'énoncé, n'hésitez pas à me demander!
  • Peux-tu rappeler les règles du rugby ? Combien rapporte un essai, une transformation, autres ...
    AD
  • @ AD 3 points pour un drop ou une pénalité, 5 points pour un essai, 7 points pour un essai transformé.
  • À la formulation près, c'est un grand classique. Chaque score est de la forme $3a+5b+7c$ avec $a, b, c \in \mathbb N$. Si on note $u_n$ le nombre de manières d'écrire $n$ sous cette forme, $u_n$ est le coefficient devant $z^n$ dans la série génératrice $$F(z) := \left(\sum_{a=0}^{+\infty} z^{3a} \right) \left(\sum_{b=0}^{+\infty} z^{5b} \right) \left(\sum_{c=0}^{+\infty} z^{7c} \right) = \frac{1}{1-z^3} \frac{1}{1-z^5} \frac{1}{1-z^7}.$$ Cette dernière fraction rationnelle a des pôles en chaque racines $3$-ième, $5$-ième et $7$-ième de l'unité. Puisque $3$, $5$ et $7$ sont premiers entre eux, la seule racine de l'unité commune à ces trois ensembles est $1$. Ainsi, notre fraction rationnelle a un pôle d'ordre $3$ en $1$, et des pôles d'ordre inférieurs en les autres racines de l'unité sus-citées. C'est ce pôle en $1$ qui va donner l'ordre de grandeur de $u_n$.

    En effet, le développement en éléments simples de $F(z)$ est alors de la forme $$\frac{c}{(z-1)^3} + \sum_{\omega \in R} \left(\frac{c_{\omega, 1}}{z-\omega} + \frac{c_{\omega, 2}}{(z-\omega)^2}\right) + P(z),$$ où $P$ est un polynôme, $R$ est l'ensemble des racines $3$-ième, $5$-ième et $7$-ième de l'unité et $$c = \lim_{z \to 1} (z-1)^3F(z) = \lim_{z \to 1} - \frac{z-1}{z^3-1} \frac{z-1}{z^5-1} \frac{z-1}{z^7-1} = -\frac{1}{3 \cdot 5 \cdot 7}.$$

    On développe chaque terme en série entière de $z$ : on a $$\frac{1}{(z-1)^3} = -\frac{1}{2} \sum_{n=0}^{+\infty} (n+2)(n+1)z^n,$$ tandis que $$\frac{1}{z-\omega} = - \frac{1}{\omega} \sum_{n=0}^{+\infty} \left(\frac{z}{\omega}\right)^n$$ et $$\frac{1}{(z-\omega)^2} = \frac{1}{\omega^2} \sum_{n=0}^{+\infty} (n+1)\left(\frac{z}{\omega}\right)^n.$$

    En comparant les termes devant $z^n$, on trouve finalement $$u_n \underset{n \to +\infty}{\sim} \frac{n^2}{210}.$$
  • @ Poirot bien joué! :-)
  • Avec un ordi, on peut aller plus loin. On a un pôle triple en $1$, et sinon, que des pôles simples, qui sont tous des racines $105$-ièmes de l'unité. On a donc $u_n$ qui est de la forme $an^2+bn+v_n$, où $v_n$ est $105$-périodique. En calculant les premiers termes, on trouve $a = \dfrac{1}{210}$, $b=\dfrac{1}{14}$, et les $105$ termes de la période de $v_n$, qui donnent l'encadrement $\dfrac{-38}{105} \leqslant v_n \leqslant \dfrac{8}{7}$.
    D'où $\dfrac{1}{210}n^2 + \dfrac{1}{14}n - \dfrac{38}{105} \leqslant u_n \leqslant \dfrac{1}{210}n^2 + \dfrac{1}{14}n+\dfrac{8}{7}$.
  • Voici une référence pour avoir exactement tous ces 105 restes (ainsi que le reste de ce qui a été raconté dans ce fil), écrite il y a un peu moins de 5 ans par quelques grenoblois après la divine surprise d'une victoire du club de rugby grenoblois à Toulouse (ça n'arrive pas très souvent).
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.