DL d'un graphe

Alors c'est un raisonnement par identification.
Le théorème des fonctions implicites te dit que psi est de classe C3,
Écris le developpement limité générique de psi que tu "mets" dans f et tu fais alors un developpement limité de f(x,psi(x)) et tu identifies par unicité du Dl.

Je procède également comme Phare.

Cependant, l'énoncé du théorème des fonctions implicites te donne une relation explicite entre $\psi(x)$ et $\psi'(x)$ (pour $x$ voisin de $0$). Cette relation te permet par récurrence de démontrer qu'en fait ta fonction $\psi$ sera $C^\infty$ et d'autre part d'exprimer les dérivées $\psi^{(k)}(x)$ successivement. Ainsi, en évaluant à chaque fois en $x=0$, tu auras des valeurs explicites pour les $\psi^{(k)}(0)$ ce qui permet d'appliquer ensuite la formule de Taylor.

En pratique, la première phase de la solution exposée ici permet au moins d'expliquer pourquoi ta fonction admettra un DL d'ordre $3$ (et même à tout ordre), ce qui justifie après le fait de la possibilité de l'injecter dans la formule et d'utiliser les règles usuelles sur les DL.