Polynôme interpolateur de Lagrange
J'avais trouvé sur le net cet exercice dont j'aimerais trouver l'énoncé dans un bouquin.
Quelqu'un voit-il dans quel bouquin le trouver ?
Voir pièce jointe pour l'énoncé de l'exercice.
Quelqu'un voit-il dans quel bouquin le trouver ?
Voir pièce jointe pour l'énoncé de l'exercice.
Réponses
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C'est l'exercice 87 de la banque CC INP MP.
Le thème est extrêmement classique et doit être traité dans l'énorme majorité de livres d'algèbres pour un niveau ~L1. -
OK c'est effectivement l'exercice 87 de la banque d'exercices CCP laquelle n'est malheureusement pas éditée . Dans quel bouquin trouver cet exercice pour l'oral de l'agreg ? J'en ai parcouru quelques uns sans le trouver et pourtant c'est effectivement un classique .
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Les deux premières questions tu peux les retenir elles sont simples on les trouve dans des bouquins de spé.
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Et de première année.Algebraic symbols are used when you do not know what you are talking about.
-- Schnoebelen, Philippe -
C'est vrai qu'elles sont simples mais j'aimerais un support pour me rassurer car c'est un jour où l'on peut faire de grosses erreurs.
Ce serait quand même incroyable que cet exo ne figure dans aucun bouquin -
Il faut que tu fasses un travail sur toi pour le jour j, tu dois apprendre à gérer ton stress afin de ne pas te retrouver paralysé pendant la préparation et face au jury.
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Es-tu sûr d'avoir bien cherché ? Je viens d'ouvrir, au hasard, deux des plus grands classiques de l'agreg (Les maths en tête - Algèbre de Gourdon et Objectif Agrégation de Beck, Malick & Peyré) et tu trouves l'interpolation de Lagrange dans les deux.
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Oui , Gourdon parle des polynômes interpolateurs de Lagrange (comme la plupart d'ailleurs ) mais l'exercice indiqué n'y figure pas.
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J avoue ne pas comprendre la question... En fait, les questions 1 et 2 sont la base des polynômes interpolateurs de Lagrange même si ce n'est pas écrit tel quel dans un manuel tu verras des choses similaires. Je ne vois pas tellement l'intérêt de la question 3 non plus. Bref même si tu n'as pas EXACTEMENT cet exo dans tes manuels, ces derniers devraient te suffire largement pour faire quelque chose, ou pour reconstituer cet exercice
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Aaaaah, donc ce que tu veux trouver dans un bouquin, c'est la preuve algébrique et non constructive de l'existence des polynômes d'interpolation (la question 1) ? Va jeter un œil à Objectif Agrégation !
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C'est quoi la preuve algébrique non constructive ?
Avec un déterminant de Vandermonde ? -
Non, c'est la preuve proposée dans la question 1 dans le corrigé que j'ai mis plus haut : on exhibe une application linéaire injective entre $\K^{n+1}$ et $\K_n[X]$, elle est donc bijective, et on en déduit l'existence et l'unicité du polynôme interpolateur.
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Il me sembler que c'est plutôt une application linéaire SURJECTIVE et non pas injective ce qui au final revient au même puisque les dimensions des K(n+1) et Kn[X] c'est n+1
L'application en question c'est
Kn[X]
K(n+1)
Phi: P
(P(a0), P(a1),......... ,P(an)) et elle est surjective car il existe un polynome Pi base qui vérifie Pi(xj)=Delta(i,j) (Cronecker) et
on pose P(x)=SIGMA(Pi(x)bi) qui vérifie pour tout (bo, b1,.........,bn) de K(n+1)
Phi(P)=(P(a0), P(a1),......... ,P(an))=(bo, b1,.........,bn)
Sauf erreur de ma part , PHI est SURJECTIVE grace à Pi(x)=PRODUIT(x-xj/xi-xj) base et P(x)=SIGMA(Pi(x)bi)
A PLUS -
Comme vous l'avez très bien remarqué, l'application linéaire étant entre deux espaces de même dimension, le fait qu'elle soit surjective et le fait qu'elle soit injective sont équivalents, et les deux sont vrais. Mais la preuve de l'injectivité est probablement plus simple (ou plus courte) : il suffit de savoir qu'un polynôme de degré au plus $n$ qui possède $n+1$ racines est nul.
Quoi qu'il en soit, c'est cette preuve (injectivité + argument dimensionnel) qui est effectuée dans la correction de l'exercice et c'est celle-là qu'@olafgrossebaf qualifiait de "non constructive" (puisqu'elle ne donne pas explicitement l'antécédent d'un $(n+1)$-uplet donné. -
Mais après, rien ne t'empêche de trouver la base antéduale justement... De cette façon, les polynômes interpolateurs ont une expression naturelle et ne sont pas catapultés!
On peut procéder de même pour les polynômes d'interpolation d'Hermite! (on interpole en un ensemble fini de pts la fonction et sa dérivée première). -
Puisqu'on en parle, j'écris, pour la commodité du lecteur, l'application linéaire en question :
$
\left\{
\begin{array}{rcl}
\R_n[X] & \to & \R^{n+1} \\
P(X) & \mapsto &
\begin{pmatrix}
P(a_0) \\
P(a_1) \\
\vdots \\
P(a_n) \\
\end{pmatrix}
\end{array}
\right.
$ -
J'avais déjà écrit l’application linéaire (mais je reconnais écrit moins proprement en notant K le corps)
Bye
ojsanssimpson
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Bonjour!
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