Anneau noetherien
Bonsoir tout le monde ,
Si quelqu'un pouvait me clarifier les choses, je lui serais reconnaissant. Merci.
Soient $A,B$ deux anneaux commutatifs unitaires, $f$ un homomorphisme d'anneaux de $A$ vers $B$, $J$ un idéal de $B$.
Soit $T := \{(a , f(a) +j) \mid a\in A \text{ et } j\in J\}$ un sous anneau de $A \times B $.
1) Tout sous $T$-module de $J$ est un idéal de l'anneau $f(A) + J $.
Comment le montrer ?
2) Si on a $ T/\ker(p_A) \cong A$ et $T/\ker(p_B) \cong f(A)+ J $. Pourquoi : si $T$ est noethérien alors $A$ et $f(A) + J$ le sont aussi (la réciproque est-elle vraie ?) avec : $p_A$ et $p_B$ sont les projections naturelles de $T$ sur $A$ et $B$ respectivement.
[En $\LaTeX$, c'est toute les expressions mathématiques que l'on encadre par des $\$$, pas seulement quelques termes. ;-) AD]
Si quelqu'un pouvait me clarifier les choses, je lui serais reconnaissant. Merci.
Soient $A,B$ deux anneaux commutatifs unitaires, $f$ un homomorphisme d'anneaux de $A$ vers $B$, $J$ un idéal de $B$.
Soit $T := \{(a , f(a) +j) \mid a\in A \text{ et } j\in J\}$ un sous anneau de $A \times B $.
1) Tout sous $T$-module de $J$ est un idéal de l'anneau $f(A) + J $.
Comment le montrer ?
2) Si on a $ T/\ker(p_A) \cong A$ et $T/\ker(p_B) \cong f(A)+ J $. Pourquoi : si $T$ est noethérien alors $A$ et $f(A) + J$ le sont aussi (la réciproque est-elle vraie ?) avec : $p_A$ et $p_B$ sont les projections naturelles de $T$ sur $A$ et $B$ respectivement.
[En $\LaTeX$, c'est toute les expressions mathématiques que l'on encadre par des $\$$, pas seulement quelques termes. ;-) AD]
Réponses
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Puisque le mot "noethérien" n'apparaît pas dans l'énoncé, j'ai du mal à voir le lien avec le titre...
Après, tu as certaines choses à clarifier : quelle est la structure de $T$-module sur $J$ ? -
Tu dis "tout sous-$T$-module de $J$", comment tu définis le $T$-module $J$ ?
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