Endomorphisme de $\R^3$, ses $\ker~et~\rm im$

Joseph_La_célébrité
Joseph_La_célébrité
dans Algèbre
Bonjour tout le monde.
Svp je voudrais un peu d'aide sur ceci, je veux trouver le ker et l' im de cet endomorphisme de IR3, mais je suis un peu bloqué,

il s'agit de : f(x,y,z)=( x+y, x+y , x+y), je trouve que ker f=Vect( (-1,1,0) ) et im f=vect ( (1,1,1),(1,1,1)) , mais je doute un peu. Je me demande si le ker ne doit pas être de dimension 2, puisque z n’apparaît pas dans l'image, et im là que j'ai trouvé, je pense que ses 2 vecteurs sont liés et donc que la dim du Im devrait être 1, mais je doute un peu..

Merci d'avance de votre aide.

Réponses

  • Poirot
    Poirot
    Ce que tu as écrit ne peut être vrai : d'après le théorème du rang, la somme des dimensions de $\ker f$ et $Im f$ doit faire $3$, ici tu n'obtiens que $2$. Effectivement, $Vect((1,1,1), (1,1,1)) = Vect((1,1,1))$ est bien l'image (de dimension $1$) de $f$, tu as donc un problème dans ton noyau. Par exemple, le vecteur $(-\pi, \pi, 37) \in \ker f$ mais n'est pas dans $Vect((-1, 1, 0))$, ça devrait te mettre sur la piste ;-)
  • ev
    ev
    Bonjour Joe et bienvenue.

    Effectivement.

    imf=vect ( (1,1,1),(1,1,1)) = vect ( (1,1,1)).

    De ce fait le noyau est de dimension deux.

    Que penses-tu du vecteur (0,0,1) ?

    e.v.
    Personne n'a raison contre un enfant qui pleure.


  • Chalk
    Chalk
    Joseph a écrit:
    je pense que ces 2 vecteurs sont liés
    Tu doutes vraiment que deux vecteurs égaux sont liés ? Si oui, regarde la définition de famille liée, et prouve que la famille $(u,u)$ est liée pour tout vecteur $u$.
  • Joseph_La_célébrité
    Joseph_La_célébrité
    Merci beaucoup. Je vais revoir la définition.
  • Joseph_La_célébrité
    Joseph_La_célébrité
    Ah Merci beaucoup. J'ai compris maintenant. Je trouve que le Ker(f)=<((-1, 1, 0); (0,0,1)>. En fait comme l'image ne contient pas de terme en z, j'avais écrit que Ker(f)={(x,y,0) dans IR^3 tel que x=-y} au lieu de Ker(f)={(x,y,z) dans IR^3 tel que x=-y}.
    Merci vraiment..
  • Joseph_La_célébrité
    Joseph_La_célébrité
    J'ai compris maintenant. Je trouve que le Ker(f)=<((-1, 1, 0); (0,0,1)>
  • Joseph_La_célébrité
    Joseph_La_célébrité
    Svp, est ce que je peux dire Ker(f) somme directe Im(f) = IR^3?
  • Poirot
    Poirot
    Tu peux le dire, tout comme tu peux dire que $0=1$, mais est-ce que tu peux le prouver ?
  • Joseph_La_célébrité
    Joseph_La_célébrité
    C'est là même mon problème, je ne sais pas comment le montrer, mais sur mon exercice, on demande de le montrer..Mais je n'y arrive pas.. Merci de m'aider svp
  • Poirot
    Poirot
    Quelle est la définition de "les sous-espaces vectoriels $F$ et $G$ sont en somme directe" ? Essaye de montrer que cette définition est bien remplie par $\ker f$ et $Im f$. Ensuite, tu peux réfléchir à un argument de dimension pour affirmer que leur somme fait bien $\mathbb R^3$.
  • Joseph_La_célébrité
    Joseph_La_célébrité
    Merci beaucoup, j'ai pu le faire.
  • tenuki
    tenuki
    Poirot a écrit:
    Ensuite, tu peux réfléchir à un argument de dimension pour affirmer que leur somme fait bien $\mathbb R^3$.

    Sans savoir à quel niveau en est le posteur originel, je ne conseillerais pas ça a priori. Il est fort possible qu'il suive un cours d'algèbre linéaire qui définisse d'abord les applications linéaires sans avoir parlé de dimension.
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