Anneau intègre (pour débutant)
Bonjour
C'est une question sûrement assez simple, mais ... je sèche.
J'ai lu un théorème disant que "tout corps commutatif est un anneau intègre."
J'en déduis qu'un corps non commutatif peut comporter des diviseurs de zéro ?
Pourtant l'ensemble des éléments non nuls forment un groupe pour la multiplication donc il n'y a théoriquement pas de diviseur de zéro ?
Merci pour votre aide
Pierre
C'est une question sûrement assez simple, mais ... je sèche.
J'ai lu un théorème disant que "tout corps commutatif est un anneau intègre."
J'en déduis qu'un corps non commutatif peut comporter des diviseurs de zéro ?
Pourtant l'ensemble des éléments non nuls forment un groupe pour la multiplication donc il n'y a théoriquement pas de diviseur de zéro ?
Merci pour votre aide
Pierre
Réponses
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Erreur de logique
Tous les hommes sont mortels
J'en déduis qu'un chien peut ne pas être mortel.
Alain -
Tout corps, commutatif ou non, est un anneau intègre. En effet si $ab=0$, l’un des facteurs, mettons $b$, est nul c’est terminé. Sinon on compose à droite par l’inverse de $b$ et alors $a=0$.
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Bonjour
Un corps non commutatif n'a pas de diviseurs de 0. En revanche, dans la définition d'un anneau intègre, on commence par dire qu'il est commutatif. Moi, je ne dirais pas qu'un corps non commutatif est un anneau intègre! -
Et d'abord, tous les corps sont commutatifs. Na !
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Un corps qui qu'il fût n'a pas de diviseurs de 0 .
Sinon, voir AD. -
Merci beaucoup Magnolia. Je n'avais bien regardé la définition de l'anneau intègre : il doit être commutatif et non nul. La réponse était simple en effet.
Pierre -
AD écrivait : http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?3,1774914,1774920#msg-1774920
[Inutile de recopier un message présent sur le forum. Un lien suffit. AD]
Plutôt "tous les grands chiens noirs ressemblent à des loups".
J'en déduis qu'il n'y a pas de loup blanc ... -
Si bien sûr, il a un intérêt. Et d'abord Wedderburn n'a jamais démontré que tout corps fini est commutatif. Il a démontré que toute algèbre à division finie est un corps.
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Bonjour GBZM,
Je ne savais pas que pour Wedderburn aussi un corps était par définition commutatif. -
Je m'autocite :
Cette citation vient de ce fil à rallonge où on a parlé de la question en long, en large et en travers.moi a écrit:Comment Wedderburn formulait-il son théorème ? Je n'ai pas retrouvé (pas cherché très fort) l'article original de Wedderburn, mais je me contente de citer le titre d'un article ultérieur de Wedderburn : "On division algebras", et la façon dont L.E. Dickson (le premier à en donner une preuve complète) formule le résultat : "Every associative division algebra over a finite field is a field". -
Bonjour,
De quoi parle donc le livre d'André Blanchard intitulé "les corps non commutatifs" (PUF - 1972) ?
Cordialement,
Rescassol -
GaBuZoMeu écrivait : http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?3,1774914,1774992#msg-1774992
[Inutile de recopier l'avant dernier message. Un lien suffit. AD]
D’accord GBZM. Merci. -
Il parle d'algèbres à division, ou de corps gauches. Pourquoi ?De quoi parle donc le livre d'André Blanchard intitulé "les corps non commutatifs" (PUF - 1972) ? -
Les anneaux à division sont des anneaux (non nécessairement commutatifs) dans lesquels tout élément différent de zéro admet un inverse (pour la loi multiplicative). Dans la terminologie française on les appelle des corps non commutatifs ou corps gauches.
Pour les anglo-saxons : division rings (= corps gauche) et field (= corps au sens français)
Un anneau intègre n'est pas nécessairement commutatif. Certains mathématiciens incluent la propriété de commutativité, d'autres non. Godement par exemple n'inclut pas la commutativité dans les propriétés d'un anneau intègre. -
Merci SERGE_S pour ces précisions.
J'ai une autre question dans la même veine (en fait j'en ai des dizaines ...) mais je n'ose pas ouvrir un fil pour cela.
J'ai lu qu'on admet l'existence de l'anneau nul, ou trivial, ne comportant qu'un seul élément. Pourquoi cet anneau n'est-il pas un corps ? Car j'ai lu par ailleurs que le plus petit corps a au moins deux élément distincts.
Merci pour ton aide
Pierre -
C’est une histoire caractéristique, paraît-il… :-DAlgebraic symbols are used when you do not know what you are talking about.
-- Schnoebelen, Philippe -
"on admet" : bah non, on n'admet pas, on l'a, tiens : $\{0\}$.
Ce n'est pas un corps car un corps est un anneau commutatif dans lequel l'ensemble des éléments différents de $0$ forme un groupe; en particulier il est non vide. Mais tu reconnaîtras que $\{0\}\setminus\{0\}$ a pas l'air d'avoir beaucoup d'éléments... -
Effectivement nous avons longuement débattu naguère de la question de savoir s'il faut mettre la commutativité dans la définition d'un corps, et GBZM a bien raison de nous remettre sous l’œil le fil de discussion consacré à cette question, avec l'article de Hauchecorne.
Dans la littérature mathématique les avis sont partagés. Moi je suis partisan de la définition de Bourbaki qui n'oblige pas les corps à être commutatifs, contrairement au programme de MPSI-MP d'aujourd'hui, les autres CPGE ignorant lamentablement les notions de groupes, anneaux, corps ! Car les corps non commutatifs présentent un grand intérêt, comme le montre notamment l'ouvrage d'André Blanchard dont parle Rescassol, ou plus récemment « Skew fields » de Cohn.
Mais qu'on prenne telle ou telle option, l'important est de travailler avec une définition claire, surtout pour les étudiants qui passent des épreuves.
Bonne soirée.
Fr. Ch. -
Encore une fois, dire qu'une algèbre à division ou corps gauche n'est pas un corps ne veut absolument pas dire que la notion d'algèbre à division est sans intérêt. Chaurien, je trouve totalement illogique ton argument "les corps non commutatifs présentent un grand intérêt". D'ailleurs, tu remarqueras qu'un "skew field" 'corps gauche) n'est justement pas un cas particulier de "field", de même que "skew polynomial" n'est pas un cas particulier de "polynomial".
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C'est le red herring principle.
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GBZM a écrit:Et d'abord Wedderburn n'a jamais démontré que tout corps fini est commutatif.
J'ai passé l'agrégation en 1995. Mon deuxième oral était: "Corps et extensions de corps, exemples et applications".
J'avais énoncé le théorème de Wedderburn de la façon suivante: "Tout corps fini est commutatif"...cela n'avait pas choqué le jury qui m'avait demandé de le démontrer....(j'ai eu 17 à cet oral).
J'imagine que le jury n'était pas constitué de nains de jardins...J'avoue ne pas comprendre....Liberté, égalité, choucroute. -
Rapport du jury 1994 a écrit:L'utilisation d'une terminologie adaptée devrait être l'un des soucis des candidats. La leçon "Corps finis, exemples, applications" peut illustrer ce propos. Il n'est pas rare qu'après un paragraphe entier consacré aux corps finis, et notamment à leur description complète, apparaisse le théorème de Wedderburn, énoncé sous la forme suivante: "tout corps fini est commutatif'. Cela suggère que les corps considérés au préalable n'étaient pas supposés commutatifs ; or, il est bien nécessaire qu'ils le soient si l'on veut leur appliquer les théorèmes relatifs aux polynômes à une indéterminée, essentiels pour l'étude des corps (commutatifs) finis.
Cette incongruité pourrait être évitée si l'on décidait qu'un corps est nécessairement commutatif, et si l'on désignait par "anneau à division" ou encore "algèbre à division" une structure d'anneau, où tous les éléments non nuls sont inversibles ("algèbre" renvoyant alors à la structure d'algèbre sur le centre). Le théorème de Wedderburn pourrait ainsi s'énoncer: " tout anneau à division, fini, est commutatif ce qui est tout de même plus parlant que l'énoncé suivant: "tout corps non commutatif fini est commutatif." -
Maxtimax écrivait : http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?3,1774914,1775092#msg-1775092
[Inutile de recopier un message présent sur le forum. Un lien suffit. AD]
Merci Maxtimax pour ta réponse.
Sauf erreur de ma part, la définition d'un corps est plutôt :Un anneau (commutatif ou non selon les goûts) non réduit à {0}, dont tout élément non nul est inversibleLe groupe multiplicatif dont tu fais mention est une conséquence de cette définition.
Ma question était : pourquoi cette définition exclut-elle {0} ? Je suis juste curieux de savoir ce qui motive ce choix, qui a priori me semble arbitraire. Mais qui ne l'est sûrement pas.
Pierre -
Peux-tu me raconter la théorie de la dimension des espaces vectoriels sur le corps $\{0\}$ ?
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@GBZM: merci pour ces précisions...mais alors pourquoi n'ai-je pas eu 2/20 à mon oral ????Liberté, égalité, choucroute.
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Si $\{0\}$ est un corps, on n'a plus nécessairement l'énoncé bien connu "dans un anneau commutatif, un idéal est maximal si et seulement le quotient par cet idéal est un corps", car alors pour tout anneau commutatif $A$, le quotient $A/A$ serait un corps, bien que l'idéal $A$ ne soit pas maximal.
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Bah justement ce que je dis c'est que c'est erreur de ta part, cf par exemple la page wikipedia.
La définition que tu proposes n'exclut pas $\{0\}$, et c'est problématique, notamment en algèbre linéaire pour tout ce qui est théorie de la dimension etc. -
Le lien que tu proposes est fautif, il y a un "Dit autrement" qui n'est pas une équivalence...
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algèbre à division : 18 caractères
corps: 5 caractères
Je crois que le débat est clos... -
Martimax a écrit:Le lien que tu proposes est fautif, il y a un "Dit autrement" qui n'est pas une équivalence...
Il me semble pourtant que l'équivalence des deux définitions est correcte, à un détail près qui est justement l'objet de ma question.
La première définition wikipedia est :
C'est la définition de base. Il n'est pas clairement dit que l'anneau {0} ne convient pas pour faire un corps. D'où l'objet de ma question : pourquoi dit-on, dans d'autres articles, que le plus petit corps fini a au moins 2 élément ?wikipedia a écrit:Un corps gauche est un anneau (unitaire) dans lequel tout élément non nul a un inverse pour la multiplication.
La deuxième définition, du même auteur, qui est selon lui équivalente est :
Là il est clairement dit que l'anneau {0} ne convient pas. C'est la seule différence que je vois (c'est peut être pour cette raison que selon toi les définitions ne sont pas équivalentes ?). Le reste me semble équivalent car dire que le monoïde (A*, x) est un groupe est, je crois, la même chose que dire que tout élément non nul est inversible.wikipedia a écrit:Dit autrement c'est un anneau unitaire non réduit à un élément et dans lequel l'ensemble des éléments non nuls est un groupe pour la multiplication -
Bah... il y a une différence, qui fait que certains trucs ($\{0\}$ en l'occurrence) vérifient l'une et pas l'autre, j'appelle ça "ne pas être équivalent" :-D
Et ce que je te dis c'est que la première définition n'est pas "la définition de base", et c'est ce qu'on a essayé de t'expliquer. En particulier il va être impossible de développer une théorie de la dimension sur $\{0\}$ et la plupart des théorèmes d'algèbre linéaire seraient de la forme "soit $K$ un corps différent de $\{0\}$" : pour simplifier on déclare que $\{0\}$ n'est pas un corps. C'est exactement la même raison pour laquelle on déclare que $0$ n'est pas un nombre premier (dans $\Z$), ou encore $1$ (alors que $0\mid ab \implies 0\mid a \lor 0\mid b$, et de même pour $1$ !)
Les définitions, ce sont les mathématicien.ne.s qui les décident, donc si une définition nous simplifie plus la vie que l'autre (et qu'on n'y perd pas grand chose), on prend la plus simple. -
Bonjour à tous
J'ai fait un peu de ménage dans ma tête au sujet des élément réguliers, diviseurs de zéro et anneau intègre.
Voici le résultat de mes réflexions
).
Qu'en pensez-vous ?
Pierre
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Bonjour!
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