Séries

Salut, je n'arrive pas a faire la question de 2 de l'exercice suivant:
Soit $f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ la fonction 2$\pi$ - périodique définie par $f(x)=|\cos(x)|$.
1- Calculer les coefficients de Fourier trigonométriques de f.
2- En déduire la valeur de la somme $\sum_{n=1}^{+\infty }{\frac{(-1)^{n+1}}{4n^2-1}}$.

J'ai trouvé a la question 1 $a_{0}=\frac{2}{\pi}, a_{n}=\frac{4}{\pi}\frac{\cos(n\frac{\pi}{2})}{1-n^2}$ et $ b_{n}=0$. Et c'est la déduction qui me pose problème.

Merci d'avance.

Réponses

  • 1) regarder droit dans les yeux les coefficients de Fourier.
    2) appliquer un théorème qui lient la fonction et sa série de Fourier (sous certaines conditions)
  • Il pourrait être utile d'écrire $\cos(\frac{n\pi}2)$ sous une forme moins trigonométrique (regarder les valeurs pour n=0,1,2,3,4,5,6)

    Cordialement.
  • Salut, pour $n$ pair, on a : $a_{n}=\frac{(-1)^{n+1}}{4n^2-1}$ et pour $n$ impair, on a : $a_{n}=0$. Pour pouvoir écrire la série de [large]F[/large]ourier, on va gérer le cas de $a_{0}$ comment ?

    [Joseph Fourier (1768-1830) mérite bien sa majuscule. AD]
  • Tu ne dois pas écrire ce que tu penses, ou alors tu penses faux. D'une part, si $n$ est pair, alors $(-1)^{n+1}=-1$, pas la peine de laisser une indétermination là-dessus. D'autre part, tu as perdu des $4/\pi$, semble-t-il. Enfin, je ne comprends pas ce qu'il y a à « gérer » avec $n=0$. Éventuellement, tu peux séparer ce terme et la somme pour $n\ge1$, ça ne paraît pas insurmontable.
  • Tu l'as dit :
    $\displaystyle a_{0}=\frac{2}{\pi}, a_{n}=\frac{4}{\pi}\frac{\cos(n\frac{\pi}{2})}{1-n^2}$

    Donc $\displaystyle a_2=\frac{4}{\pi}\frac{\cos(\frac{2\pi}{2})}{1-2^2}=\frac{4}{\pi}\frac{-1}{-3}= \frac{4}{3\pi}$
    et $\displaystyle \frac{(-1)^{n+1}}{4n^2-1}= \frac {-1}{15} \neq a_{2}$

    Regarder les premiers termes $a_n$ évite d'écrire des bêtises.
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