Séries de Fourier

Salut
On me demande de montrer que $\ \displaystyle \int_{0}^{\pi}{\frac{\sin\big((2n+1)\frac{t}{2}\big)}{\sin(\frac{t}{2})}dt}=\pi ,\ \forall n\in \mathbb{N}\ $ en utilisant la formule de Dirichlet.

Merci d'avance.

Réponses

  • C'est dégueulasse ce qu'on impose aux jeunes.
  • Qu'est-ce que tu appelles formule de Dirichlet ?
  • Plus sérieusement, avec $q=\mathrm{e}^{\mathrm{i}t/2}$, comment pourrais-tu récrire \[\frac{q^{2n+1}-q^{-2n-1}}{q-q^{-1}}\;?\] Indication : ça commence par une factorisation.
  • Salut, en fait voici ce que dit le lemme dans notre cours.
    Soit $f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ la fonction 2$\pi$ - périodique et Riemann integrable sur [0, 2$\pi$[.
    La suite des sommes partielles $(S_{n})_{n}$ associé à la série de Fourier de f vérifie pour tous $n\in \mathbb{N}$ et $x \in \mathbb{R}$, $S_{n}(x)=\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{2\pi}{
    \frac{\sin((2n+1)\frac t2)}{\sin\frac t2}(f(x+t)+f(x-t))dt}$.
  • Pardon d'insister : tu sais factoriser $a^N-b^N$ ? Fais-le, puis remplace $a$ par $q$, $b$ par $q^{-1}$ et $N$ par $2n+1$.
  • Bonsoir !
    Je pense que c'est plus simple que ça : il suffit d'écrire la somme finie donnant la valeur de $\dfrac{\sin(2n+1)\frac t2}{\sin \frac t2}$
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