Séries

Salut,
j'ai eu des difficultés à déterminer la nature de la série de terme général $u_{n}=\frac{\exp(i\sqrt{n})}{\sqrt{n}}.$

Merci d'avance.

Réponses

  • Une transformation d'Abel semble de mise. Ensuite il reste à estimer $$\sum_{n=1}^N \mathrm{e}^{i \sqrt n},$$ ce qui peut se faire par exemple via la méthode de Van der Corput : https://fr.wikipedia.org/wiki/Lemme_de_van_der_Corput#En_théorie_des_nombres

    Il y a peut-être plus efficace que Van der Corput ici, je ne suis pas expert en sommes d'exponentielles. Il y a une discussion sur une somme proche ici : https://mathoverflow.net/questions/219774/bounding-exponential-sum-with-square-roots
  • Bonjour !
    Sur un autre forum il est dit que la série est divergente : la méthode d'Abel (condition suffisante de convergence) est donc sans intérêt.

    La solution semble plutôt résider dans l'étude de la série $\displaystyle\sum\int_n^{n+1}\dfrac {e^{\mathrm{i}\sqrt t}}{\sqrt t}\mathrm{d}t$
  • @rakam : je ne propose pas d'appliquer le théorème d'Abel mais bien d'effectuer une transformation d'Abel pour y voir plus clair, on peut dans certains cas conclure à la divergence de la série à l'aide d'une telle transformation.
  • Ce graphique est une preuve que ça diverge en oscillant,

    parce que la dérivée seconde de $t^{-1/2} e^{i \sqrt{t}}$ est sommable

    ce qui permet d'exprimer la convergence de la série en terme d'intégrations par partie de trucs du type $\int_1^N t^{-a} e^{i t^{1/2}}dt$
  • Salut, merci pour les indications. Mais nous n'avons pas encore vu les propriétés auxquelles vous faites allusion. Notre prof nous a donné les exercices dans le cadre d'une première approche sur les séries numériques. Donc, je suis un peu perdu.
  • Si c'est pour une première approche, c'est peut-être juste "savoir bien compter" et contredire le critère de Cauchy. La difficulté est le côté oscillant de $\cos(\sqrt{n})$ mais en fait il oscille "de moins en moins". Bref il faudrait regarder les plages de $n$ telles que
    $$2k\pi + \frac{\pi}{6}\leq \sqrt{n}\leq 2k\pi + \frac{\pi}{3}$$
    choisir $k$ arbitrairement grand et minorer
    $$
    \sum_{n\ dans\ cette\ plage} \frac{\cos(\sqrt{n})}{\sqrt{n}}
    $$
    par un réel >0 (indépendant de $k$). Ainsi la série diverge.

    Je n'ai pas fait les détails, j'espère que ça marche et que c'est compréhensible.
  • Tu peux aussi regarder en faisant un développement limité (astuce ad-hoc dans ce cas) pour $n\gg 1,$
    \begin{align*}
    e^{i\sqrt{n+1}}-e^{i\sqrt{n}} & = e^{i\sqrt{n}} \big( e^{ i\sqrt{n}\left( \sqrt{1+\frac{1}{n}}-1\right)}-1\big) \\
    & =e^{i\sqrt{n}}\left( \frac{i}{2\sqrt{n}}+O(\frac{1}{n^{\frac{3}{2}}} )\right)\\
    & =\frac{i}{2}\frac{e^{i\sqrt{n}} }{\sqrt{n}}+O( \frac{1}{n^{\frac{3}{2}}}).
    \end{align*}

    Ainsi, par télescopage, ta série diverge à défaut d'une série absolument convergente près.
  • Salut O.G, justement je n'arrive pas à minorer.
  • Salut BobbyJoe, je ne comprends pas bien votre méthode de télescopage.
  • BobbyJoe a montré que $\sum_{n \le N} \frac{e^{i \sqrt{n}}}{\sqrt{n}} = \sum_{n \le N}\frac2i (e^{i \sqrt{n+1}}-e^{i \sqrt{n}} + a_n)$ où $|a_n| \le C n^{-3/2}$
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