Étude d'une matrice

visual77
visual77
dans Algèbre
Bonjour,
en tant que jeune retraité je me relance dans ma passion (les mathématiques)
je m'intéresse aujourd'hui aux matrices et j'aimerais avoir votre avis sur mes réponses au problème suivant.

soit A une matrice d'ordre 4 
1 1 1 0
1 1 1 0
1 1 1 0
0 0 0 0
Question 1. Justifier que 0 est une valeur propre à la matrice.

Ma réponse : 0 est une valeur propre de la matrice si det [A -aI] = 0 avec a la valeur propre
0*I= matrice nulle
donc il faut que det[A]= 0 ; comme A est formé du vecteur nul est du vecteur [1110] les vecteurs de A sont liés donc det [A]=0
conclusion 0 est une valeur propre de A.

Question 2. déterminer une base du sous-espace propre de A associé à la valeur propre 0
le vecteur (1,1,1) est une base de A

Question 3. Quelle est la dimension du sous-espace vectoriel de A
dimension = 3

Question 4. A est-elle diagonalisable ?

Je n'arrive pas à répondre à cette question.
Dans l'attente de votre apport.
Cordialement.

Réponses

  • gerard0
    gerard0
    Bonjour.

    Bravo de te mettre aux mathématiques !

    1) On peut aussi facilement voir un vecteur v qui multiplié par A donne Av=0v=0; et d'autres ...
    2) A est une matrice 4x4, donc les éléments du sous-espace propre associé à 0 sont des quadruplets. (1,1,1) n'est pas un quadruplet. Voir aussi ma réponse à la question 1.
    3) "Quelle est la dimension du sous-espace vectoriel de A " n'a pas de sens, A est une matrice, pas un espace vectoriel. Quelle est la véritable question ?
    4) suite logique des questions précédentes, quand elles sont faites correctement. Voir les conditions de diagonalisabilité d'une matrice.

    Mon conseil : reprendre un cours de niveau L1/prépa d'algèbre linéaire, avec les bases de la discipline. Beaucoup de questions sur les matrices carrées s'éclairent fortement quand on connaît bien leur lien avec les endomorphismes, en particulier ce qui concerne la diagonalisation.

    Cordialement.
  • Flora
    Flora
    Bonsoir visual77,

    ( Édit)
  • visual77
    visual77
    Bonjour,
    merci pour les encouragements car il n'est pas évident de retrouver une gymnastique mathématique lorsque pendant des années on a laissé de côté ce domaine.
    Grâce aux vidéos sur internet (exemple académie Kahn ) j'essaye de compléter mon savoir.
    Concernant la question n°3 le libellé exact est le suivant.

    Déterminer une base du sous-espace propre de A associé à la valeur propre de 0 ; on le notera SEP(0,A). Précisez la dimension de SEP(0,A) ?

    Cordialement.
  • ybreney
    ybreney
    Bonjour,

    pour la première question, raisonner sur le rang de la matrice et utiliser le théorème du rang te permet de faire d'une pierre deux coups, à savoir montrer que 0 est valeur propre et trouver la dimension du sous-espace propre associé.

    Ensuite, pour justifier que la matrice est diagonalisable, évoquer le fait qu'elle est symétrique réelle convient mais on utilise là le théorème spectral qui est un résultat d'algèbre bilinéaire et donc un peu un arguement massue au niveau où tu te places.
    A moindre coût, tu peux raisonner sur la somme des dimensions des sous espaces propres, la trace te donnant la valeur de la seule valeur propre non nulle.

    Cordialement.

    Y.
  • skilveg
    skilveg
    (@Flora : le théorème spectral est bien au programme de la voie ECE ;) )
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