La belle au bois dormant
Réponses
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En complément de l'article de Delahaye, on peut trouver ceci sur Image des maths.
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@aléa, même si je ne suis pas fondamentalement en désaccord avec vous, je pense qu'il est toujours intéressant de se pencher sur les paradoxes. Ils nous apprennent forcément quelque chose, que se soit sur les subtilités de la langue, ou sur nos biais cognitifs.Ce serait complètement erroné de croire qu'il y a une controverse scientifique.
Je ne suis pas convaincu par ce point. L'article de Mariolis, mathématicien, qui abouti à un résultat de 1/2, et l'article de Philippe Gay (qui manque cruellement de rigueur) qui abouti à un résultat de 1/3 donnent quand même à penser que la réponse est loin de faire consensus...
J'envisage pour ma part de tenter d'offrir une démonstration mathématique la plus rigoureuse possible, et de démonter les arguments demistes. J'ai lu plusieurs fois qu'il était reproché aux tiéristes d'éluder les problèmes soulevés par les demiste, et il faut admettre que c'est vrai dans tout ce que j'ai pu lire. Les difficultés sont généralement survolées.
Voici le plan que j'espère suivre pour démontrer la solution du problème. J'accepte avec joie toute remarque sur celui-ci, surtout si vous pensez qu'un élément sera impossible à démontrer.
1) Définitions et traduction de l'énoncé en langage mathématique
L'objectif ici est, en particulier, de définir "la probabilité que la pièce soit tombée sur Face", et de montrer que les 2 interprétations possibles sont :
- La probabilité que la pièce soit tombée sur Face au moment où j'ai lancé la pièce, ce qui n'a que peu d'intérêt : la pièce étant équilibrée, la réponse est 1/2 et sera toujours 1/2 par définition.
- La probabilité que la pièce lancée dimanche montre actuellement le côté face, au moment où on me pose la question, d'après les informations dont je dispose. Je compte démontrer ici que la réponse est 1/3.
On va définir les évènements P, F, LP, LF, MP, l'espace probabilisé {F, P} et les implications P => LP & MP, F => LF, et H l'hypothèse : "la pièce montre actuellement le côté face" dont on essaie de mesurer la probabilité.
[2) Montrer que l'itération de l'expérience sur un nombre fini d'occurences génère un ensemble fini de réveils {LP, LF, MP} dont les fréquences sont statistiquement égales.
3) Montrer que, du fait de la drogue amnésique, la réponse de la princesse ne peut pas être différente entre 2 réveils, et que donc la réponse au problème est la même si la princesse est réveillée chaque fois, ou si elle est réveillée une seule fois au hasard au cours de toute l'expérience (parmi LP, LF et MP).
Peut-être un peu délicat, mais je pense pouvoir y arriver par un raisonnement par l'absurde.
4) Montrer que réveiller la princesse une seule fois au hasard est équivalent à choisir un réveil parmi l'ensemble des réveils {LP, LF, MP} qui constitue donc un espace probabilisé représentant l'ensemble des réveils possibles de la princesse, et donc l'ensemble des entretiens qu'elle va passer.
Pour être plus rigoureux, on devrait définir [LP*, MP*, LF*] la réalisation des évènements : "la princesse sera réveillé durant un réveil [LP, MP, LF]. L'espace probabilisé est donc plutôt {LP*, LF*, MP*}.
5) Par définition des évènements LP, MP et LF, H est vrai en LF et faux en MP et LP
6) L'analyse fréquentielle des évènements LP*, MP* et LF* montre que la probabilité de LF* est 1/3.
J'ai un petit doute sur la preuve de ce point car les fréquences de LP*, MP* et LF* ne sont pas égales, mais égales "en moyenne".
7) L'équivalence montrée en 4 grâce au point 3 permet de déduire que la réponse de la princesse est 1/3 -
@Sharcoux Vous définissez la probabilité piéçale en référence au conditionnement interpersonnel de la face cachée des mathématiques. La question naturelle à se poser dès lors est : cette face cachée existe-t elle ? Les partisans du "oui" sont nombreux à se manifester, mais les partisans du "non" n'accepteront jamais leurs hypothétiques expériences quelque peu délicates. La clef du problème se trouve sous le tapis de la porte d'entrée. En effet, un clin d'œil sous ledit tapis révèle une princesse endormie qu'on avait oubliée. Nous étions mardi. Lorsque les deux princesses furent couronnées, leur amnésie se dissipa et elles s'écrièrent en cœur : un tiers ! Devant une cross-validation si précise, plus aucune contestation n'est possible. QED.
PS : inutile de faire appel aux probabilités non standard. -
Comment résoudre le dilemme de la bielle et la bière?
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Voilà l'état actuel de mes réflexions sur le sujet. Si quelqu'un veut commenter, n'hésitez pas.
Si vous avez une idée pour la démonstration par récurrence, je suis preneur.
Merci en tout cas pour vos retours jusqu'ici. -
Depuis l'exemple de l'aiguille de Buffon du paradoxe de Bertrand (pourquoi je n'arrête pas de les confondre?), on sait que si vous ne pouvez pas
-fournir un espace mesuré $(X, \mathcal A,\mu)$ et une partie mesurable $B\in \mathcal A$ telle que $\mu(B)=0.5$ (ou autre chose)
-ou bien fournir la description en bonne et due forme d'une expérience où une certain nombre d'épreuves pourront être réalisées et leurs succès comptabilisés
-ou les deux
Alors vous participez à une discussion 100% byzantine. Ce qui est le cas de cette fable de la belle droguée au bois dormant.
Il y a un tendance psychologique chez les gens consistant, dès qu'un mot figure dans une phrase grammaticalement correcte, à croire que ce mot désigne vraiment quelque chose. Donc on dit "la probabilité de" et automatiquement l'événement en question se met à avoir objectivement un chiffrage, que la science se proposerait de "mesurer".
Quelle mesure permet de connaître "la probabilité que si je creuse à 2 mètres dans mon jardin, je trouve des louis d'or" ?
On est en train de discuter de l'existence de Dieu.
Si je vous dis "quelle est la couleur de la licorne double qui a provoqué les chutes de neige de cette semaine?" Une personne sensée va d'abord demander "qu'est-ce qu'une licorne double?" puis si cette chose existe vraiment. On devrait faire la même chose pour les probas.Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$. -
Bonjour Foys,
Quelle est la probabilité que la réponse correcte à cette question est strictement supèrieure à $\frac12$?
Par ailleurs, une licorne double est un dauphin ailé rose siamois qui s'est fait décolorer. C'est rare mais ça existe, en vertue de l'existence des dauphins ailés roses.
Preuve de l'assertion en bleu:
Soit D le dieu du mauvais goût.
Par définition, D n'a pas même le bon goût de ne pas exister.
Donc D existe.
Pour voir que D est un dauphin ailé rose, il suffit de se convaincre que cette dernière quantité est le comble du mauvais goût. -
Pourtant, il me semble que mon ébauche défini parfaitement la probabilité mentionnée dans l'énoncé comme la probabilité statistique de l'hypothèse : "La pièce montre le côté Face lors de l’entretien avec la princesse" et définit les univers et les mesures permettant de la calculer à partir des éléments de l'énoncé et des différentes issues possibles lors de l'expérience.
Si un élément de mon ébauche vous semblait mal défini, pourriez-vous le pointer précisément ?
Notez que j'ai complété l'ébauche par la valeur de la probabilité en fonction du nombre n de semaines.
J'obtiens Pn = somme(1/2^n * (k parmi n) * k/(2n-k))
On retrouve P1 = 1/2, P2 = 5/12, et un développement limité montrerait que Pn tend vers 1/3 -
Bonjour Sharcoux.
J'ai fortement l'impression que tu enfonces des portes ouvertes en te cognant au chambranle. Soit tu veux parler de probabilités conditionnelles, et c'est ultra-classique (par exemple ta "Probabilité que la pièce montre actuellement son côté face, au moment où la question est posée", qui est une formulation malsaine pour une proba conditionnelle), soit tu veux faire des statistiques (donc plus des probas !!) ce qui ressort de ton expression " probabilité statistique" qui n'a aucun sens. En statistique, on a des fréquences, et dans les modèles probabilistes utilisés en statistiques, ces fréquences sont modélisées par des probabilités; mais on ne mélange pas, on ne confond pas le modèle avec la réalité ("la carte n'est pas le territoire").
Retraduite en termes probabilistes sérieux, l'histoire de la Belle au bois dormant redevient un simple conte, sans paradoxe.
Que tu continues à vouloir argumenter sur ce sujet sans t'en tenir aux règles classiques des probas m'inquiète un peu ... tu fais des maths ou du flood ? Ou tu es tellement fier de ta "solution" boiteuse et inutile que tu veux absolument faire reconnaître sa qualité (tu feras surtout reconnaître une certaine incompétence, de ne pas utiliser simplement les probabilités conditionnelles). As-tu vraiment lu le message d'Aléa, qui a l'avantage d'être un professionnel des probas (enseignant chercheur) ?
Cordialement. -
J'ai modélisé l'expérience comme une succession de tirages aléatoires, suivi d'un tirage parmi un ensemble d'éléments. Je ne vois pas en quoi ce que je fais est contraire aux probabilités classiques.
S'il s'agit des termes utilisés, avez-vous des suggestions d'amélioration ? -
Si Alice au bois dormant décide de dire systématiquement pile à chaque entretien (et si pile déclenche les deux entretiens par semaine alors que face n'en impose qu'un seul) alors Alice dit la vérité une fois toutes les deux semaines et deux entretiens sur trois, sans paradoxe.
imaginer une "partie" qui dure 1000 semaines:
on se retrouve avec environ 500 piles, et 1500 entretiens dont 1000 qui font suite à un pile.
C'est une grosse tempête dans un verre d'eau ce problème, encore pire que Monty Hall.
Les "demistes" (resp. "tiéristes") comptabilisent le nombre de semaines (resp. d'entretiens) où Alice a raison.Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$. -
J'ai longtemps partagé votre avis, sauf que :
1) si vous tentez d'en faire une démonstration rigoureuse, vous verrez que ce n'est pas si simple et que ce résultat n'est valable qu'en faisant une approximation en supposant que le nombre de semaines est "très grand".
2) si on applique votre raisonnement sur un nombre de semaine prédéfini, on s'aperçoit qu'il est faux. Il suffit de l'appliquer pour n=1. -
Sharcoux a écrit:1) si vous tentez d'en faire une démonstration rigoureuse, vous verrez que ce n'est pas si simple et que ce résultat n'est valable qu'en faisant une approximation en supposant que le nombre de semaines est "très grand".Sharcoux a écrit:2) si on applique votre raisonnement sur un nombre de semaine prédéfini, on s'aperçoit qu'il est faux. Il suffit de l'appliquer pour n=1.Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$.
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1) quel élément de l'énoncé indique que cette loi est applicable ? La loi des grands nombres n'a rien à voir avec le sens que l'on peut donner à une probabilité.
2) on lance une pièce. Si pile (une chance sur 2), en répondant face, la princesse se trompe dans 100% des cas au cours de l'expérience. Si face, en répondant face elle se trompe dans 0% des cas au cours de l'expérience. Autrement dit, sur les réveils d'une seule semaine, peu importe le jour, la pièce n'a qu'une chance sur 2 d'être tombée sur pile. -
Sharcoux a écrit:1) quel élément de l'énoncé indique que cette loi est applicable ? La loi des grands nombres n'a rien à voir avec le sens que l'on peut donner à une probabilité.
J'ai supposé qu'il était implicite que la pièce était non truquée (et que chaque semaine une nouvelle pièce était lancée et que le résultat du tirage était indépendant de ceux des autres semaines).
Si $(X_n)_{n\in \N}$ est une suite de tels tirages, alors $\frac{1}{N}\sum_{k=1}^N f(X_k)$ converge presque sûrement vers $\frac{1}{2}$ et $\frac{1}{N} \sum_{k=1}^N g(X_k)$ converge presque sûrement vers $\frac{2}{3}$ lorsque'on pose $f(x)=g(x)=0$ si $x=face$ et $f(x)=1$ et $g(x)=2$ si $x=pile$.Sharcoux a écrit:La loi des grands nombres n'a rien à voir avec le sens que l'on peut donner à une probabilité.
Les décorations d'événements réels ou supposés avec des nombres sans aucun contenu opérationnel (aucune expérience faisable) ne sont pas des sujets de discours scientifique.Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$. -
Vous montrez à nouveau une convergence, c'est-à-dire une résultat "pour n grand". Je ne nie pas ce résultat, mais force est de constater que rien n'indique que l'on doive considérer que l'expérience est répétée à l'infini. Et pour n fini, le résultat n'est pas 1/3. Sinon, merci de le démontrer.
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Foys a écrit:En l'espèce la loi des grands nombres est le seul moyen de donner un sens non byzantin à cette probabilité.
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Shah d'Ock a écrit:En pratique, en toute rigueur, on ne peut pas faire tendre n vers l'infini.Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$.
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On pourrait reformuler le problème autrement: on dispose d'une liste contenant 1000 bits. On suppose qu'il y a environ autant de 0 que de 1 dans la liste.
Chaque nouvelle semaine le prince charmant décide selon la valeur du n-ième bit, de réveiller Alice une fois ou deux fois et de lui demander la valeur du bit. On est dans la situation déjà familière.
Alice donnera la bonne réponse une semaine sur deux, et à deux entretiens sur trois (environ).Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$. -
J'ai l'impression que tu dis quelque chose du genre "si je sais donner un sens à une probabilité de 0,0000001 alors je sais donner un sens à n'importe quelle probabilité car en vertue de la loi des grands nombres, pour $\epsilon$ arbitraire je peux répéter l'expèrience jusqu'à ce que la probabilité que $|p-f|>\epsilon$ soit infèrieure à 0,0000001, où $p$ est la probabilité à laquelle je cherche à donner un sens, et $f$ la fréquence observée."
D'accord, mais en vertue de quoi une probabilité de 0,0000001a-elle un sens? -
Bonjour
Je me permets de revenir vers vous pour vous soumettre une démonstration rédigée, que j'espère suffisamment rigoureuse.
Si l'un des éléments vous semble nécessiter un argument supplémentaire, un grand merci de prendre la peine de le signaler.
https://docs.google.com/document/d/1Ox9q_mDhMUmlSFU1RLrPvehS74x6Cg_Mv8tGQVfTQEw/edit#
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Bonjour!
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