Corollaire de Hahn Banach

Bonjour,
je n'arrive pas à prouver le corollaire suivant de la forme analytique de Hahn Banach.

Soit $M$ un s.e.v d'un espace vectoriel normé $E$.
Soit $x_0\in E$ tel que $d(x_0,E)=d>0$ alors il existe $f\in E'$ (le dual topologique) tel que $||f||=1,\ f(M)=0$ et $f(x_0)=d$ (bien que je ne crois pas que cette dernière propriété m’intéresse).

Si $E$ est un Banach j'arrive à retrouver le résultat mais pas dans le cas général.
Cordialement

Edit.
Au final c'est bon (pour $f(M)=0$ ce qui m’intéressait le plus),
On considère $\bar M$ qui est un s.e.v fermé de $E$, $x_0\notin \bar M$,
On pose $g:\bar M \oplus \mathbb Rx_0 \rightarrow \mathbb R$ définie par $g(m+\lambda x_0)= d\lambda$,
$g$ est continue car son noyau est fermé et on invoque alors Hahn-[large]B[/large]anach.
Par contre je ne vois pas comment raccorder la première et la dernière condition, des idées ?

[Stefan Banach (1892-1945) prend toujours une majuscule. AD]