Couples de premiers symétriques dans [2n, 4n]

Emphyrio
Emphyrio
dans Shtam
Soit p un nombre premier quelconque tel que p > 2, on sait qu'il existe toujours au moins un premier p' qui répond à la condition suivante :
p < p' < 2p

Ajoutons p à tous les membres de cette inégalité on a : 2p < p' + p < 3p (1)


Or on sait que tous les nombres premiers supérieurs à 2 sont impairs de sorte que : p' + p = 2a


On peut réécrire l'inégalité (1) de la manière suivante : p < a < 3/2p soit p < a et a < 3/2p


Ainsi on a : 2/3a < p < a dès lors, il existe r >= 1 tel que p = a - r avec r < a/3 soit a > 3 puisque r >= 1 et a et r doivent être de parité différentes.


Or par hypothèse : p + p' = 2a puisque p = a - r alors p' = a + r


Dès lors, le couple de nombres premiers (p, p') est symétrique autour de a avec r < a/3 et a > 3


Ainsi, on obtient in fine : 2/3a < p < a < p' < 4/3a (2)


Si l'on tient pour vraie la conjecture de la conjecture de Goldbach alors on peut toujours écrire p + p' = 2a quelque soit a > 1 donc on doit s'attendre à ce que la relation (2) soit vraie pour toute valeur entière de a > 3 en particulier pour tous les multiples de 3 tels que :

a = 3n avec n > 1.


Dès lors, on peut réécrire la relation (2) ainsi : 2n < p < 3n < p' < 4n ce qui peut s'énoncer de la manière suivante :

Il y a toujours au moins 2 nombres premiers (p, p') dans l'intervalle [2n, 4n] et qui sont de surcroit symétriques autour de 3n pour tout n > 1.


Application :
Si n = 2 4 < p < 6 < p' < 8 ici (p, p') = (5, 7)
Si n = 3 6 < p < 9 < p' < 12 ici (p, p') = (7, 11)
Si n = 4 8 < p < 12 < p' < 16 ici (p, p') = (11, 13)
Si n = 5 10 < p < 15 < p' < 20 ici (p, p') = (13, 17) ou (11, 19)
Si n = 6 12 < p < 18 < p' < 24 ici (p, p') = (17, 19) ou (13, 23)

Etc...


On sait que la densité des nombres premiers au voisinage de n quand n devient grand tend vers 1/ln(n) or entre 3n et 4n, il y n valeurs de r possibles donc 3n + r à une probabilité 1/ln(3n) d'être premier de même que 3n - r avec 1 < r < n quand n est grand.

Ainsi, la probabilité pour que le couple (p, p') soit formés de premiers vaut n/ln(3n)^2. Dès lors, le nombre de couples de premiers (p, p') symétriques autour de 3n dans l'intervalle [2n, 4n] tend vers +l'infini quand n tend vers +l'infini.


Emphyrio

Réponses

  • LEG
    LEG
    Bonjour :
    Soit p un nombre premier quelconque tel que p > 1, on sait qu'il existe toujours au moins un premier p' qui répond à la condition suivante :
    p < p' < 2p

    OK ..:
    p = 13 il existe p' < 26 , ok :

    p' = 19 : Qui décompose 20 en somme de deux premiers (p,q) ....? conjecture fausse ....! ..§ sauf bien sûr si il existe au moins plusieurs premiers : p < p',p'',p''' < 2p (:P)
  • gerard0
    gerard0
    Bonjour Emphyrio.

    Tu fais l'erreur déjà dénoncée de multiples fois sur ce forum (et ailleurs), de confondre une lettre obtenue par un certain rapport avec une lettre quelconque : Ton a est du départ la somme de deux premiers, il n'est pas quelconque. Et même, il est la somme de deux premiers p et p' avec p<p'<2p !!
    Essaie de réécrire ton texte avec à chaque fois qu'apparaît la lettre a la rajout "où a est la somme de deux nombres premier"; et donc à la fin à côté de ton affirmation sur l'existence d'un couple de premier entre 2n et 4n la condition "avec 3n somme de deux nombres premiers p et p' avec p<p'<2p.

    Et tu vas t'apercevoir que tu tournes en rond, puisque les nombres dont tu "démontres" l'existence sont simplement p et p'.

    Une vraie preuve commencerait par "soit n un entier quelconque" et ne donnerait jamais de condition sur n.

    Au passage, une étourderie de ta part : " on sait que tous les premiers sont impairs" !! 2 est un nombre premier.

    Cordialement.
  • Emphyrio
    Emphyrio
    @ LEG

    Je ne comprends pas ton objection pourquoi p' = 19 ? si p = 13 alors il y a au moins un p' < 26 c'est à dire soit 17 soit 19 soit 23

    Si la conjecture de Goldbach et vraie soit p + p' =2a alors :

    2/3a < p < a < p' < 4/3a c'est le cas générale mais dans le cas particulier où a = 3n avec a > 3 alors on a :

    2n < p < 3n < p' < 4n pour tout n > 1


    Emphyrio
  • Emphyrio
    Emphyrio
    @gerard0

    Merci pour ce commentaire, j'ai pris en compte la remarque tout à fait juste sur les premiers impairs en précisant désormais p > 2

    Pour le reste, je suis perplexe en effet si p < p' < 2p alors oui p + p' est bien la somme de deux premiers et l'on sait que cette somme est paire et égale par hypothèse à 2a soit p + p' = 2a à ce stade la valeur de a n'est pas connue...

    Ainsi, à partir de l'inégalité : p < p' < 2p il est légitime d'écrire 2p < p + p' < 3p

    Dès lors, par hypothèse : p < a < 3/2p cette relation est vraie pour tous les premiers p > 2 ainsi, p doit à la fois être tel que : p < a et p > 2/3a c'est à dire : 2/3a < p < a

    Alors oui a est bien par hypothèse la somme de deux premiers et c'est justement là que je fais appel à la conjecture de Goldbach pour dire que c'est vrai pour toutes les valeurs de a avec (a - p) >= 1 et en particulier lorsque a = 3n avec n >1

    Si la conjecture de Goldbach est vraie pour toute valeur de a alors 2n < p < 3n c'est-à-dire qu'il y a toujours un nombre premier entre 2n et 3n et comme effectivement par hypothèse on a imposé p + p' = 2a alors p' est symétrique autour de 3n et donc 3n < p' < 4n

    C'est-à-dire et sauf erreur de raisonnement 2n < p < 3n < p' < 4n pour tout n > 1.

    Cordialement.
  • Emphyrio
    Emphyrio
    Pour répondre aux objections, je propose d'aborder le problème autrement.

    Nous postulerons que la conjecture de Goldbach : p + p' = 2a est vraie pour tout a > 1 où (p, p') est un couple de premiers.

    Postulons que p et p' sont symétriques autour de a c'est-à-dire qu'il existe un entier r avec 1 < r < a tel que :
    p = a - r et p' = a + r de manière évidente on a : p' > p
    Nous allons faire l'hypothèse additionnelle selon laquelle p' est tel que : p < p' < 2p dès lors cela impose une condition sur r à savoir :
    a + r < 2(a - r) c'est-à-dire : 3r < a soit r < a/3 à priori la relation doit être valable pour toute valeur de a > 3
    Or p = a - r et p' = a + r et donc : 2/3a < p < a < p' < 4/3a puisque 1 < r < a/3.

    Si a est un multiple de 3 alors a = 3k et donc :
    2k < p < 3k < p' < 4k quelque soit l'entier k > 1 car a > 3

    Cordialement
  • gerard0
    gerard0
    Ok.

    Tu pars donc de l'hypothèse que la conjecture de Goldbach est vraie. Jusqu'à la dernière phrase (sur les jumeaux) c'est donc "si cette propriété est vraie", mais je ne vois pas ce que tu veux prouver "si cette propriété est vraie". Pourquoi avoir écrit ce message ???
    La seule chose utile est que sous réserve de la vérité de la conjecture de Goldbach, il y a des premiers, p entre 2n et 3n et p' entre 3n et 4n tels que p+p' = 6n. Est-ce une propriété connue ? Sans doute, la conjecture a été très étudiée il y a deux siècles avec les outils que tu utilises.

    Quant à la dernière phrase (*), c'est une pure escroquerie !! Le "de même" alors que tu parles de tout autre chose est une infâme tricherie. Tout ça pour conclure sans raison à l'infinité des jumeaux. Cette dernière phrase est indigne du travail qui précède. À ta place, je la barrerais vite, pour ne pas déconsidérer ton intervention.

    Cordialement.

    (*) Je cite "De même, la probabilité pour que deux valeurs de r successives donnent des premiers vaut 2n/ln(3n)^2 dans l'intervalle [2n, 4n] or cette valeur diverge si l'approche statistique est sensée alors il y a donc un nombre infini de nombres premiers jumeaux sur N."
  • Emphyrio
    Emphyrio
    @gerard0. Bonjour,

    Une pure escroquerie ? Loin de moi cette idée une phrase hardie ou fausse puisqu'elle manque de justifications c'est possible voilà pourquoi je vais la retirer et reprendre mon raisonnement de manière plus explicite dans un prochain message...

    Emphyrio
  • gerard0
    gerard0
    Oui, le développement de "De même" serait bien utile.
    On attendra une justification sérieusement rédigée.

    Cordialement.
  • Emphyrio
    Emphyrio
    @gerard0


    Bonjour en vue de cette justification, j'aurais besoin de votre analyse sur les points suivants :

    Considérons l'intervalle [1, n] avec n un entier tel que n >> 1 alors le nombre de premiers contenus dans l'intervalle [1, n] tend vers n/ln(n) ce qui signifie que la densité des nombres premiers sur l'intervalle [1, n] peut se définir comme 1/ln(n) avec n >> 1.


    Si la relation de Goldbach était une loi forte (ou absolue) alors à chaque nombre premier pk dans l'intervalle [1, n] devrait correspondre une valeur p'k tel que pk + p'k = 2n or on sait à l'évidence que c'est faux mais cela donne une borne supérieure pour de nombre de premier dans [n, 2n] soit là encore n/ln(n) quand n >> 1.


    Si la relation de Goldbach était le fruit du pur hasard alors pour chaque valeur de rk tel que pk = n - rk est un premier alors la valeur p'k = n + rk aurait une probabilité : 1/ln(n) d'être un nombre premier or il y a approximativement n/ln(n) valeurs de rk possibles ce qui signifie qu'il y aurait approximativement n/ln(n)2 valeurs p'k = n + rk tel que : p'k soit premier et pk + p'k = 2n.


    Si la relation de Goldbach est lâche alors il faut s'attendre en moyenne à un nombre N > n/ln(n)2 de premiers p'k dans l'intervalle [n, 2n] tel que : pk + p'k = 2n.
    Ainsi : n/ln(n)2< N < n/ln(n)


    On peut exprimer cette relation de la manière suivante : il y a approximativment n/ln(n)2 nombres premiers dans l'intervalle [n, 2n] ou bien encore en disant qu'il y a au moins n/ln(n)2 couples de premiers (p, p') tel que p + p' = 2n quand n >> 1

    Dans l'intervalle [n, 2n] considérons p' = n + r avec 1 < r < n alors la probabilité pour que p' soit premier vaut au mieux 1/ln(n) et au moins 1/ln(2n) ainsi la probabilité pour former deux nombres premiers consécutifs soit des jumeaux vaut au maximum : 1/ln(n)2 et à minima 1/ln(2n)2.

    Ce qui signifie qu'en moyenne il faudrait s'attendre à la présence d'au moins n/ln(2n)2 et au maximum n/ln(n)2 jumeaux dans l'intervalle [n, 2n] quand n >> 1

    Si on préfère raisonner sur l'intervalle [1, n] avec p = n - r la probabilité de trouver deux premiers p consécutifs vaut là encore 1/ln(n)2 aussi le nombre de premiers qui sont jumeaux est d'au moins n/ln(n)^2 dans l'intervalle [1, n] nous justifions le au moins par le fait que la densité de premiers est supérieure à 1/ln(n) car elle augmente continument quand on se rapproche de l'unité en explorant l'intervalle [1, n].


    Cordialement
  • LEG
    LEG
    Bonjour
    @Emphyrio
    alors à chaque nombre premier pk dans l'intervalle [1, n] devrait correspondre une valeur p'k tel que pk + p'k = 2n or on sait à l'évidence que c'est faux mais cela donne une borne supérieure pour de nombre de premier dans [n, 2n] soit là encore n/ln(n) quand n >> 1.

    Il me semble que tu y vas un peu fort ... non ?
    Depuis quand le nombre de premiers de [1 , n] vaudrait autant que le nombre de premiers qu'il y a [n , 2n] ... alors que tout le monde sait que le nombre de premiers de 1 à n est supérieur ... d'où le nombre de premiers de [n , 2n] ne peut sûrement pas valoir encore $\frac{n}{\ln n}$, qui est la fonction du TNP par rapport à $\pi(n)$...
    Tu peux supposer que ce serait plutôt $\frac{n}{\ln 2n}$ ... Ce qui ne gène en rien ton estimation pour N = n/\ln(n)^2 ...
  • gerard0
    gerard0
    Emphyrio,

    tu devrais éviter de parler de probabilité à propos des nombres premiers sans avoir clairement défini ce dont tu parles. Car parler de la probabilité qu'un nombre pris au hasard dans [1;n] ne suffit pas à définir la densité de premiers dans l'intervalle [n;2n]. On connaît des estimations asymptotiques de cette densité, mais comme il s'agit de limite, ça ne dit rien sur un intervalle donné, par exemple [2541247835;2x2541247835] où la densité peut être différente (*).

    Et aucune règle de densité ne te permet de dire : "Dans l'intervalle [n, 2n] considérons p' = n + r avec 1 < r < n alors la probabilité pour que p' soit premier vaut approximativement 1/ln(n) ". Il s'agit ici d'une probabilité conditionnelle, dont je suis sûr que tu serais bien incapable de la justifier.

    Bon, je vais arrêter là, en te livrant quand même une réflexion de bon sens (**) : ce genre de réflexion a été mené depuis deux siècles, entre autres par des mathématiciens de tout premier ordre (Tchebychev, Riemann, ...) qui n'ont pas résolu ces deux conjectures. Ils n'étaient pas assez bêtes pour ne pas avoir vu, à eux tous, toutes les idées simples sur la question. Donc pour traiter sérieusement ces questions, quelques petits calculs et du baratin non justifié ne servent à rien.

    Cordialement.


    (*) on connaît des intervalles de longueur aussi grande que l'on veut où il n'y a pas de premier !
    (**) tu es libre de ne pas avoir de bon sens.
  • Emphyrio
    Emphyrio
    @LEG
    Oui je suis d'accord et je dis justement qu'il ne peut pas y avoir autant de premiers dans [n, 2n] dès lors n/ln(n) est une borne supérieure et oui on peut prendre n/ln(2n) car il est légitime de penser que dans l'intervalle [n, 2n] la densité de premiers est comprise entre 1/ln(n) et 1/ln(2n) ce qui permet de définir une inégalité pour le nombre de premiers N dans [n, 2n] tel que n/ln(2n) < N < n/ln(n)


    @gerard
    Oui des esprits brillants comme (Tchebychev, Riemann et d'autres) ont travaillé sur ces questions sans les avoir résolus formellement en même temps si vous me reprochez de faire appel à une approche statistique en introduisant la notion de densité moyenne ou minimale sur l'intervalle [1, n] avec 1/ln(n) où dans l'intervalle n(n+1) +/- n avec 1/2ln(n) quand n >> 1 alors comment arriver à un résultat autre que ceux déjà obtenus ?

    Bien sûr que l'on peut trouver des intervalles très grands sans que l'on ait un nombre premier l'approche statistique n'est pas contraire à cela surtout si l'on parle d'intervalles centrés autour de très grands nombres N car alors 1/Ln(N) est très petit ainsi on peut toujours choisir un n arbitrairement grand pour qu'un intervalle [N - n, N + n] ne contienne pas de premier il suffit pour cela que n/Ln(N) << 1


    Cordialement
  • gerard0
    gerard0
    Mais tu n'apportes rien de nouveau par rapport à l'époque de Tchebychev, c'est seulement non mathématisé (contrairement à lui).

    Je te laisse rêver ta vie au lieu de la vivre.
  • Emphyrio
    Emphyrio
    Bonjour
    Je fais appel à une approche statistique des nombres premiers à l'aide de la théorie des grands nombres et la théorie des nombres aléatoires c'est parfaitement mathématisé mais vous semblez refuser par principe d'appliquer ces domaines aux nombres premiers en prétextant que ce n'est pas formel à l'instar des résultats obtenus par Tchebychev et d'autres sur les nombres premiers.

    Je propose un cadre certes non académique puis je m'efforce de l'exploiter c'est-à-dire de le rendre pratique et prédictif ? Donne-t-il des résultats que l'on peut confronter au constat du dénombrement ou de la mesure ?

    C'est comme si vous refusiez les lois de la physique newtonienne appliquées aux atomes ou aux molécules en disant que c'est le domaine de la mécanique quantique et que cela ne peut être valable or nous savons vous et moi que lorsqu'on considère un nombre de particules suffisamment grand alors les deux cadres se rejoignent et donnent des lois de comportement qui sont pratiquement identiques.

    Ainsi puisque mon approche montre notamment qu'il y a au moins n/ln(n)2 nombres premiers jumeaux sur l'intervalle [1, n] ou bien encore qu'il y a au moins n/ln(n+1) nombres premiers dans l'intervalle [n2, (n+1)2] quand n >> 1 démontrez que c'est faux ou bien trouvez un exemple de valeur de n qui ne respecte pas ces lois ce n'est pas là un défi ou une tentative de vexation de ma part mais cela tordrait le coup pour de bon à ce type d'approches.
    Cordialement
  • gerard0
    gerard0
    Commence par étudier ce qui s'est fait il y a déjà plus d'un siècle. L'ignorance n'est pas une excuse. En particulier, tous ceux qui étudient vraiment les nombres premiers savent que leur répartition n'est pas aléatoire. L'étude statistique de leur répartition est commencée depuis deux siècles, donc ce n'est pas "un cadre certes non académique", comme tu dis, seulement une grande ignorance de ta part.
    Tu crois avoir eu une idée géniale, des millions de gens l'ont eue avant toi. Ton approche ne montre rien, elle utilise des règles de probabilités alors qu'il n'y a rien d'aléatoire. Et tu confonds une densité moyenne avec un impératif : "montre notamment qu'il y a au moins n/ln(n)2 nombres premiers jumeaux sur l'intervalle [1, n] ".

    Comme tu es l'un des nombreux intervenants qui disent qu'ils ne connaissent pas vraiment les maths et à la fois qu'ils ont une idée qui va révolutionner les maths, j'arrête là, ton insistance malséante te rend ridicule et tu finirais par m'énerver (pour l'instant, je te plains, de ne pas être capable de l'humilité nécessaire à la pratique des maths).
  • Emphyrio
    Emphyrio
    Théorème de Tchebychev (Tchebychev Limits Theorem)
    7/8 < Pi(n)/ [n/ln(n)] < 9/8
    En 1998, Pierre Dusart (université de Limoges) a montré que la quantité de premiers inférieurs ou égaux à n est supérieur ou égal à cette expression pour n supérieur à 6000.
    Pi(n) > (n/[ln(n)-1] pour n > 6000)
    Je justifie mon "au moins" par le fait que 1/ln(n) est une densité limite lorsque n tend vers +l'infini, je la suppose donc supérieure sur [1, n] quand n >> 1.

    Cordialement.

    PS : J'ai lu des énormités sur ce forum pour lesquelles vous n'avez pas réagi ou tenté de convaincre l'intervenant à quel point il se trompait ou était ignorant et encore moins vous énerver ...
  • Emphyrio
    Emphyrio
    Vous avez raison sur un point quand on cherche on trouve car je découvre sans honte que la fonction donnant la quantité de couples de jumeaux dont le premier est inférieur à un entier donné est appelée Pi2 à l'instar de la fonction Pi pour les premiers inférieur à n.

    Et je découvre que des travaux relativement récents ont été fait qui montrent que Pi2 tend vers 2C[n/ln(n)2] quand n tend vers +l'infini avec C = 0.6601618 c'est à dire Pi2 > n/ln(n)2 convenez avec moi que même si vous n'êtes pas d'accord avec ma méthode on obtient un résultat parfaitement compatible malgré le ridicule que cela semble vous suggérer...


    Cordialement
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