Relation entre Pi et la constante de Catalan

On a:

\begin{align}\sum_{n=0}^\infty \frac{\binom{2n}{n}^2}{4^{2n+1}(2n+1)}=\frac{\text{G}}{\pi}\end{align}

Preuve:

Il est bien connu que pour $n\geq 0$ entier,

\begin{align}\int_0^{\frac{\pi}{2}}\cos^{2n} x\,dx=\frac{\pi}{2}\cdot\frac{\binom{2n}{n}}{4^n}\end{align}

(Formules de Wallis)

Donc pour $n\geq 0$ entier,

\begin{align}\frac{\binom{2n}{n}^2\pi^2}{4^{2n+1}(2n+1)}=\int_0^1 \left(\int_0^{\frac{\pi}{2}} \int_0^{\frac{\pi}{2}} t^{2n}\cos^{2n}x \cos^{2n}y \,dx\,dy \right)\,dt\end{align}

Et ainsi,

\begin{align}\pi^2\sum_{n=0}^{\infty}\frac{\binom{2n}{n}^2}{4^{2n+1}(2n+1)}&=\sum_{n=0}^{\infty}\left(\int_0^1 \left(\int_0^{\frac{\pi}{2}} \int_0^{\frac{\pi}{2}} t^{2n}\cos^{2n}x \cos^{2n}y \,dx\,dy \right)\,dt\right)\\
&=\int_0^1 \left(\int_0^{\frac{\pi}{2}} \int_0^{\frac{\pi}{2}} \left(\sum_{n=0}^{\infty}t^{2n}\cos^{2n}x \cos^{2n}y\right) \,dx\,dy \right)\,dt\\
&=\int_0^1 \left(\int_0^{\frac{\pi}{2}} \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{1-t^2\cos^2 x\cos^2 y}\,dx\,dy \right)\,dt\\
\end{align}

Appliquer le changement de variables $u=\tan x$,$v=\tan y$,


\begin{align}\pi^2\sum_{n=0}^{\infty}\frac{\binom{2n}{n}^2}{4^{2n+1}(2n+1)}&=
\int_0^1 \left(\int_0^{\infty} \int_0^{\infty}\frac{1}{(1+u^2)(1+v^2)-t^2}\,du\,dv \right)\,dt\\
&=\int_0^1 \left(\int_0^\infty \frac{1}{\sqrt{1+v^2}}\left[\frac{\arctan\left(\frac{u\sqrt{1+v^2}}{\sqrt{1+v^2-t^2}}\right)}{\sqrt{1+v^2-t^2}}\right]_{u=0}^{u=\infty}\,dv\right)\,dt\\
&=\frac{\pi}{2}\int_0^1 \left(\int_0^\infty \frac{1}{\sqrt{1+v^2}\sqrt{1+v^2-t^2}}\,dv\right)\,dt\\
&=\frac{\pi}{2}\int_0^\infty \frac{1}{\sqrt{1+v^2}}\left[\arctan\left(\frac{t}{\sqrt{1+v^2-t^2}}\right)\right]_{t=0}^{t=1}\,dv\\
&=\frac{\pi}{2}\int_0^\infty \frac{\arctan\left(\frac{1}{v}\right)}{\sqrt{1+v^2}}\,dv\\
\end{align}

Appliquer le changement de variable $y=\dfrac{1}{v}$,

\begin{align}\pi^2\sum_{n=0}^{\infty}\frac{\binom{2n}{n}^2}{4^{2n+1}(2n+1)}&=\frac{\pi}{2}\int_0^\infty \frac{\arctan x}{x\sqrt{1+x^2}}\,dx\\
\end{align}

Appliquer le changement de variable $y=\arctan x$,

\begin{align}\pi^2\sum_{n=0}^{\infty}\frac{\binom{2n}{n}^2}{4^{2n+1}(2n+1)}&=\frac{\pi}{2}\int_0^{\frac{\pi}{2}}\frac{x}{\sin x}
\,dx\\
&=\frac{\pi}{2}\Big[x\ln\left(\tan\left(\frac{x}{2}\right)\right)\Big]_0^{\frac{\pi}{2}}-\frac{\pi}{2}\int_0^{\frac{\pi}{2}}\ln\left(\tan\left(\frac{x}{2}\right)\right)\,dx\\
&=-\frac{\pi}{2}\int_0^{\frac{\pi}{2}}\ln\left(\tan\left(\frac{x}{2}\right)\right)\,dx\\
\end{align}

Appliquer le changement de variable $y=\frac{x}{2}$,

\begin{align}\pi^2\sum_{n=0}^{\infty}\frac{\binom{2n}{n}^2}{4^{2n+1}(2n+1)}&=
-\pi\int_0^{\frac{\pi}{4}}\ln(\tan x)\,dx\\
&=\pi\times \text{G}\\
\end{align}

Donc on a bien,

\begin{align}\boxed{\sum_{n=0}^\infty \frac{\binom{2n}{n}^2}{4^{2n+1}(2n+1)}=\frac{\text{G}}{\pi}}\end{align}


PS:
La formule est bien connue, ce qui m'intéressait est d'en donner une preuve "élémentaire".

PS2:

Merci à Math Coss pour m'avoir signalé des erreurs d'écriture.